§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 276 — стр. 92

Рассмотрим неравенство \((y-2)(y-3)-4>0\). Разложим его по сокращенной формуле:

\(y^{2}-5y+6-4>0,\)

что приводит к уравнению \(y^{2}-5y+2>0\). Далее факторизуем его, находим корни \(y^{2}-5y+2=0\) с помощью дискриминанта:

\(D=25-8=17>0.\)

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня. Итак, неравенство выполняется не при любом \(y\).

Рассмотрим \((5-y)(1-y)+4>0\). Приведем его к виду:

\(y^{2}-6y+9>0,\)

что факторизуется как \((y-3)^{2}>0\). Заметим, что данное квадратное уравнение имеет корень при \(y=3\). Таким образом, неравенство не выполняется для всех \(y\).

Рассмотрим \((5-y)(1-y)+10>0\). Приведем его к стандартному виду:

\(y^{2}-6y+15>0,\)

что дает уравнение \((y-3)^{2}+6>0\). Поскольку выражение \((y-3)^{2}\) всегда неотрицательно, а при \(y=3\) достигает нуля, добавление положительного числа (6) не изменяет знак. Следовательно, неравенство выполняется для всех \(y\).

Рассмотрим \((y-8)(y-7)-60>0\). Преобразуем его:

\(y^{2}-15y+56-60>0,\)

что сводится к уравнению \(y^{2}-15y-4>0\). Найдем корни с помощью дискриминанта:

\(D=225+16=241>0.\)

Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня. Итак, неравенство выполняется не для всех \(y\).