§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 277 — стр. 92

Рассмотрим неравенство \(x^{2}+7x+1>-x^{2}+10x-1\). Сгруппируем подобные члены и приведем его к виду:

\(2x^{2}-3x+2>0\)

Далее найдем корни уравнения \(2x^{2}-3x+2=0\) с использованием дискриминанта:

\(D=9-16=-70\) выполняется для любого значения \(x\).

Рассмотрим неравенство \(-2x^{2}+10x0.\)

Факторизуем это уравнение и найдем корни:

\(x^{2}-6x+9>0\)

\((x-3)^{2}=0\)

Отсюда получаем, что уравнение имеет один корень \(x=3\). Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положителен, ветви параболы направлены вверх. Таким образом, неравенство \(2x^{2}-12x+18>0\) выполняется для всех значений \(x\) за исключением \(x=3\), что записывается как \(x \in (-\infty ; 3) \cup (3 ; +\infty)\).