§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 278 — стр. 92

Предположим, что одна сторона прямоугольника имеет длину \(x\) см, следовательно, вторая сторона равна \((x+7)\) см. Площадь прямоугольника определяется выражением \(x(x+7)\).
Условие задачи задает ограничение на площадь: \(x(x+7) \leq 60\). Приведем неравенство к квадратичному виду: \(x^{2}+7x-60 \leq 0\).
Решим квадратное уравнение \(x^{2}+7x-60=0\) с помощью дискриминанта:
\(D=49+240=289\)
Извлекаем корни уравнения:
\(x_{1,2}=\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}\)
Таким образом, получаем два значения \(x_{1}=5\) и \(x_{2}=-12\). Учитывая, что длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, выбираем только положительное значение \(x_{1}=5\).
Таким образом, ширина прямоугольника может быть от 0 до 5 см включительно. Ответ: меньшая сторона прямоугольника может быть длиной до 5 см включительно.