§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 280 — стр. 92

Рассмотрим систему неравенств:

\(\left\{\begin{array}{l}x^2-2x-8<0 \\x^2-9<0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(x^2-2x-8=0\):

\(x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2} \\x_1=4, \quad x_2=-2.\)

2. Решим второе уравнение \(x^2<9\):

\(x< \pm 3.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in(-3 ; 3) \cap (-2 ; 4)\} = \{x \in (-2 ; 3)\}\).

Рассмотрим систему неравенств:

\(\left\{\begin{array}{l}22x^2-13x+6<0 \\x^2-4x>0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(2x^2-13x+6=0\):

\(x_{1}=6, \quad x_{2}=\frac{1}{2}.\)

2. Решим второе уравнение \(x^2-4x=0\):

\(x(x-4)=0, \quad x_1=0, \quad x_2=4.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in(0 ; 6) \cap (4 ; +\infty)\} = \{x \in (4 ; 6)\}\).

Рассмотрим систему неравенств:

\(\left\{\begin{array}{l}x^2-6x-16>0 \\x^2+2x-120<0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(x^2-6x-16=0\):

\(x_{1}=8, \quad x_{2}=-2.\)

2. Решим второе уравнение \(x^2+2x-120=0\):

\(x_{1}=10, \quad x_{2}=-12.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in(-\infty ;-2) \cap (8 ; +\infty)\} = \{x \in (-12 ;-2) \cup (8 ; 10)\}\).

Рассмотрим систему неравенств:

\(\left\{\begin{array}{c}3x^2+x-2 \leq 0 \\x^2+4x-12 \leq 0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(3x^2+x-2=0\):

\(x_{1}=-1, \quad x_{2}=\frac{2}{3}.\)

2. Решим второе уравнение \(x^2+4x-12=0\):

\(x_{1}=2, \quad x_{2}=-6.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in(-1 ; \frac{2}{3}) \cap (-6 ; 2)\} = \{x \in (-1 ; \frac{2}{3})\}\).

Рассмотрим систему неравенств:

\(\left\{\begin{array}{c}2x^2+4x+15 \geq 0 \\x^2-9x+8 \leq 0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(2x^2+4x+15=0\):

\(D=16-4 \cdot 30=-104<0,\)

следовательно, уравнение не имеет действительных корней, и \(\ x \in \mathbb{R}\).

2. Решим второе уравнение \(x^2-9x+8=0\):

\(x_{1}=8, \quad x_{2}=1.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in R \cap (1 ; 8)\} = \{x \in (1 ; 8)\}\).

Рассмотрим систему неравенств:

\(\left\{\begin{array}{l}2x^2+5x-3<0 \\3x^2+x+11<0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(2x^2+5x-3<0\):

\(x_{1}=\frac{1}{2}, \quad x_{2}=-3.\)

2. Решим второе уравнение \(3x^2+x+11=0\):

\(D=-131<0,\)

поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Решений нет.