§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 281 — стр. 92

Рассмотрим уравнение \(y=\sqrt{25-x^2}+\sqrt{9x-x^2-14}\) при условии:

\(\left\{\begin{array}{c}25-x^2 \geq 0 \\9x-x^2-14 \geq 0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(-x^2+25=0\):

\(x_{1,2}=\pm 5.\)

2. Решим второе уравнение \(-x^2+9x-14=0\):

\(x_{1,2}=\frac{-9 \pm \sqrt{81-56}}{-2}, \quad x_1=2, \quad x_2=7.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in(-5 ; 5) \cap (2 ; 7)\} = \{x \in(2 ; 5)\}.\)

Таким образом, у нас есть четыре значения \(x=2, 3, 4, 5\).

Рассмотрим уравнение \(y=\sqrt{8x-x^2-12}+\sqrt{16-x^2}\) при условии:

\(\left\{\begin{array}{c}8x-x^2-12 \geq 0 \\16-x^2 \geq 0\end{array}\right.\)

1. Решим первое уравнение \(-x^2+8x-12=0\):

\(x_{1,2}=\frac{-8 \pm \sqrt{64-48}}{-2}, \quad x_1=2, \quad x_2=6.\)

2. Решим второе уравнение \(-x^2+16=0\):

\(x_{1,2}=\pm 4.\)

Объединяя решения, получаем:

\(\{x \in(2 ; 6) \cap (-4 ; 4)\} = \{x \in(2 ; 4)\}.\)

Таким образом, у нас есть три значения \(x=2, 3, 4\).