§6. Неравенства с одной переменной — 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной — 283 — стр. 93

Рассмотрим уравнение \(y^{4}-24 y^{2}-25=0\). Введем замену переменной: \(y^{2}=z, z \geq 0\). Тогда уравнение примет вид \(z^{2}-24z-25=0\).

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z_{1,2}=\frac{24 \pm \sqrt{576+100}}{2}, \quad z_{1}=25, \quad z_{2}=-1\)

Исходя из условия \(z \geq 0\), отбросим решение \(z_{2}=-1\). Таким образом, получаем \(y^{2}=25\), что приводит к двум решениям: \(y=\pm 5\).

Рассмотрим уравнение \(x^{4}-9 x^{2}+18=0\). Введем замену переменной: \(x^{2}=z, z \geq 0\). Тогда уравнение примет вид \(z^{2}-9z+18=0\).

Решим квадратное уравнение для \(z\):

\(z_{1,2}=\frac{9 \pm \sqrt{81-72}}{2}, \quad z_{1}=6, \quad z_{2}=3.\)

Получаем два возможных значения \(z\). Рассмотрим каждый из них:

1. \(z_{1}=6\): \(x_{1,2}= \pm \sqrt{6}\).

2. \(z_{2}=3\): \(x_{3,4}= \pm \sqrt{3}\).

Таким образом, у уравнения есть четыре корня: \(x=\pm \sqrt{6}\) и \(x=\pm \sqrt{3}\).