§6. Неравенства с одной переменной — 17. Решение неравенств методом интервалов — 298 — стр. 98

Рассмотрим неравенство \(\frac{5x+4}{x}<4\). Область допустимых значений: \(x \neq 0\). Умножим обе стороны на \(x\) (поскольку \(x\) не может быть равным нулю): \(5x + 4 - 4x < 0\). Упростим: \(x + 4 < 0\). Это неравенство дает корни \(x_1 = -4\) и \(x_2 = 0\). Однако, так как \(x \neq 0\), мы выбираем \(x_1 = -4\). Таким образом, \(x \in (-4, 0)\).

Рассмотрим неравенство \(\frac{6x+1}{x+1} > 1\). Область допустимых значений: \(x \neq -1\). Умножим обе стороны на \((x+1)\) (поскольку \(x+1\) не может быть равным нулю): \(6x + 1 - x - 1 > 0\). Упростим: \(5x > 0\). Это неравенство дает корни \(x_1 = -\infty\), \(x_2 = -1\), и \(x_3 = 0\). Однако, так как \(x \neq -1\), мы выбираем \(x_3 = 0\). Таким образом, \(x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)\).

Рассмотрим неравенство \(\frac{x}{x-1} \geq 2\). Область допустимых значений: \(x \neq 1\). Умножим обе стороны на \((x-1)\) (поскольку \(x-1\) не может быть равным нулю): \(x - 2x + 2 \geq 0\). Упростим: \(-x + 2 \geq 0\). Это неравенство дает корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\). Однако, так как \(x \neq 1\), мы выбираем \(x_1 = 2\). Таким образом, \(x \in (1, 2]\).

Рассмотрим неравенство \(\frac{3x-1}{x+2} \geq 1\). Область допустимых значений: \(x \neq -2\). Умножим обе стороны на \((x+2)\) (поскольку \(x+2\) не может быть равным нулю): \(3x - 1 - x - 2 \geq 0\). Упростим: \(2x - 3 \geq 0\). Это неравенство дает корни \(x_1 = 1.5\) и \(x_2 = -2\). Однако, так как \(x \neq -2\), мы выбираем \(x_1 = 1.5\). Таким образом, \(x \in (-\infty, -2) \cup [1.5, +\infty)\).