§6. Неравенства с одной переменной — 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений — 301 — стр. 103

Рассмотрим уравнение:
\(x^4-x^3-51x^2+49x+98=0.\)
Если уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы о целых корнях целого уравнения, этот корень является делителем свободного члена, то есть делителем числа 98. Из этого следует, что числа 3, -3, 7 и -7 не являются корнями уравнения, так как они не являются делителями 98.
Проверим число -1:
\((-1)^4-(-1)^3-51(-1)^2+49(-1)+98 = 1+1-51-49+98= 0\)
Таким образом, -1 является корнем уравнения. Исходное уравнение, в силу теоремы о корне многочлена, можно представить в виде \((x+1)F(x)\), где \(F(x)\) — многочлен третьей степени.
Далее проводим деление:
\((x+1)(x^3-2x^2-49x+98) = 0\\(x+1)(x^2(x-2)-49(x-2) =0\\ (x+1)(x-2)(x^2-49) =0\\ (x+1)(x-2)(x-7)(x+7)=0\)
Таким образом, корнями уравнения являются числа -1, 2, -7 и 7.