§6. Неравенства с одной переменной — 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений — 302 — стр. 103

Рассмотрим уравнение:

\(x^{3}-4x^{2}+3x+2=0.\)

Целые корни уравнения являются делителями числа 2.

Проверим число 2:

\(2^{3}-4 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2+2=8-16+6+2=0.\)

Таким образом, 2 является корнем уравнения.

Факторизуем уравнение:

\((x-2)(x^{2}-2x-1)=0.\)

Далее решим квадратное уравнение:

\(x^{2}-2x-1=0.\)

\(x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2}=1 \pm \sqrt{2}.\)

Таким образом, ответ: \(x_{1}=2, x_{2}=1+\sqrt{2}, x_{3}=1-\sqrt{2}\).

Рассмотрим уравнение:

\(x^{4}+2x^{3}-7x^{2}-8x+12=0.\)

Целые корни уравнения являются делителями числа 12.

Проверим число 1:

\(1^{4}+2 \cdot 1^{3}-7 \cdot 1^{2}-8 \cdot 1+12=1+2-7-8+12=0.\)

Таким образом, 1 является корнем уравнения.

Факторизуем уравнение:

\((x-1)(x^{3}+3x^{2}-4x-12)=0.\)

Далее факторизуем кубический многочлен:

\((x-1)(x^{2}(x+3)-4(x+3))=0.\)

\((x-1)(x+3)(x^{2}-4)=0,\)

\((x-1)(x+3)(x-2)(x+2)=0.\)

Таким образом, ответ: \(x_{1}=1, x_{2}=-3, x_{3}=2, x_{4}=-2\).