§6. Неравенства с одной переменной — 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений — 303 — стр. 103

Рассмотрим уравнение:

\(p^{3}-p^{2}=8p-12.\)

Приведем всё в левую часть:

\(p^{3}-p^{2}-8p+12=0.\)

Целые корни уравнения являются делителями числа 12.

Проверим число 2:

\(2^{3}-2^{2}-8 \cdot 2+12=8-4-16+12=0.\)

Таким образом, 2 является корнем уравнения.

Факторизуем уравнение:

\((p-2)(p^{2}+p-6)=0.\)

Далее решим квадратное уравнение:

\(p^{2}+p-6=0.\)

\(p_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2}=2, -3.\)

Ответ: \(p_{1}=2, p_{2}=-3\).

Рассмотрим уравнение:

\(p^{3}-3p=p^{2}+1.\)

Приведем всё в левую часть:

\(p^{3}-p^{2}-3p-1=0.\)

Целые корни уравнения являются делителями числа -1.

Проверим число -1:

\((-1)^{3}-(-1)^{2}-3 \cdot(-1)-1=-1-1+3-1=0.\)

Таким образом, -1 является корнем уравнения.

Факторизуем уравнение:

\((p+1)(p^{2}-2p-1)=0.\)

Далее решим квадратное уравнение:

\(p^{2}-2p-1=0.\)

\(p_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2}=1 \pm \sqrt{2}.\)

Ответ: \(p_{1}=-1, p_{2}=1+\sqrt{2}, p_{3}=1-\sqrt{2}\).