§6. Неравенства с одной переменной — 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений — 305 — стр. 103

Рассмотрим уравнение:
\(y=x^{4}-a x^{3}-10 x^{2}+80 x-96\)
Известно, что \(y(4)=0\). Подставим \(x=4\):
\(4^{4}-a \cdot 4^{3}-10 \cdot 4^{2}+80 \cdot 4-96=0\)
Упростим уравнение:
\(320-64 a=0\)
Отсюда получаем:
\(a=5\)
Теперь подставим значение \(a\) в исходное уравнение:
\(x^{4}-5 x^{3}-10 x^{2}+80 x-96=0\)
Факторизуем полученное уравнение:
\((x-4)\left(x^{3}-x^{2}-14 x+24\right)=0\)
Далее, разложим кубический множитель:
\((x-4)(x-3)\left(x^{2}+2 x-8\right)=0\)
Решим квадратное уравнение:
\(x^{2}+2 x-8=0\)
\(x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}\)
\(x_{1}=2, x_{2}=-4\)
\((x-4)(x-3)(x-2)(x+4)=0\)
Итак, у нас есть четыре корня уравнения:
\(x_{1}=4, x_{2}=3, x_{3}=2, x_{4}=-4\)
Таким образом, ответ: \(a=5\), точки пересечения с осью \(Ox: (-4 ; 0), (2 ; 0), (3 ; 0), (4 ; 0)\).