§6. Неравенства с одной переменной — 18. Некоторые приёмы решения целых уравнений — 310 — стр. 104

\(10 x^{4}-77 x^{3}+150 x^{2}-77 x+10=0\)
\(10 x^{2}-77 x+150-\frac{77}{x}+\frac{10}{x^{2}}=0\)
\(10\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-77\left(x+\frac{1}{x}\right)+150=0\)
\(x+\frac{1}{x}=z\)
\(z^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\)
\(10\left(z^{2}-2\right)-77 z+150=0\)
\(10 z^{2}-20-77 z+150=0\)
\(10 z^{2}-77 z+130=0\)
\(z_{1,2}=\frac{77 \pm \sqrt{5929-5200}}{20}\)
\(z_{1}=\frac{104}{20}=5,2\)
\(z_{2}=\frac{50}{20}=2,5\)
\(x+\frac{1}{x}=5,2\) или \(x+\frac{1}{x}=2,5\)
1. \(x^{2}+1-5,2 x=0\)
\(x_{1,2}=\frac{5,2 \pm \sqrt{27,04-4}}{2}\)
\(x_{1}=5\)
\(x_{2}=0,2\)
2. \(x^{2}+1-2,5 x=0\)
\(x_{3,4}=\frac{2,5 \pm \sqrt{6,25-4}}{2}\)
\(x_{3}=0,5\)
\(x_{4}=2\)
Ответ: \(x_{1}=5, x_{2}=0,2, x_{3}=0,5, x_{4}=2\).