§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 317 — стр. 104

Рассмотрим уравнение \(x^{3} - x^{2} - 4(x - 1)^{2} = 0\). Разложим:

\((x - 1)(x^{2} - 4x + 4) = 0 \\(x - 1)(x - 2)^{2} = 0\)

Таким образом, у уравнения два корня:

\(x_{1} = 1, \quad x_{2} = 2\).

Рассмотрим уравнение \(2y^{3} + 2y^{2} - (y + 1)^{2} = 0\). Приведем его к более простому виду:

\(2y^{2}(y + 1) - (y + 1)^{2} = 0\)

Факторизуем:

\((y + 1)(2y^{2} - y - 1) = 0\)

Отсюда получаем три корня:

\(y_{1} = -1, \quad y_{2} = 1, \quad y_{3} = -\frac{1}{2}\).

Рассмотрим уравнение \(5x^{3} - 19x^{2} - 38x + 40 = 0\). Преобразуем его:

\(5(x^{3} + 8) - 19x(x + 2) = 0\)

Факторизуем:

\((x + 2)(5(x^{2} - 2x + 4) - 19x) = 0\)

\((x + 2)(5x^{2} - 10x + 20 - 19x) = 0\)

\(x_{1} = -2\)

\(5x^{2} - 29x + 20 = 0\)

\(x_{2} = -5\)

\(x_{3} = 0,8\)

Уравнение имеет три корня:

\(x_{1} = -2, \quad x_{2} = 5, \quad x_{3} = 0.8\).

Рассмотрим уравнение \(6x^{3} - 31x^{2} - 31x + 6 = 0\). Преобразуем его:

\(6(x^{3} + 1) - 31x(x + 1) = 0\)

Факторизуем:

\((x + 1)(6(x^{2} - x + 1) - 31x) = 0\)

\((x + 1)(6x^{2} - 6x + 6 - 31x) = 0\)

\((x + 1)(6x^{2} - 37x + 6) = 0\)

Уравнение имеет три корня:

\(x_{1} = -1, \quad x_{2} = \frac{1}{6}, \quad x_{3} = 6\).