§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 320 — стр. 105

Уравнение \(x^3 + ax + b = 0\) является кубическим уравнением, и его количество действительных корней может варьироваться в зависимости от значений коэффициентов \(a\) и \(b\). Для определения числа корней будем рассматривать соответствующий график функции \(y = x^3 + ax + b\).
1. Три действительных корня:
- Когда график функции пересекает ось \(x\) три раза, уравнение имеет три действительных корня.
2. Один действительный корень:
- Когда график функции касается оси \(x\) один раз, уравнение имеет один действительный корень.
3. Ни одного действительного корня:
- Когда график функции не пересекает и не касается оси \(x\), уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, уравнение \(x^3 + ax + b = 0\) может иметь три, один или ни одного действительного корня в зависимости от формы графика, который в свою очередь зависит от значений коэффициентов \(a\) и \(b\).