§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 321 — стр. 105

Дано уравнение: \((x^2+6x)^2-5(x^2+6x)=24\)

Введем подстановку: \(z = x^2+6x\)

Уравнение примет вид: \(z^2-5z-24=0\)

Решим для \(z\): \(z_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25+96}}{2}\)

Таким образом, \(z_1=8\) и \(z_2=-3\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(x^2+6x=8\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{1,2}=\frac{-6 \pm \sqrt{36+32}}{2}=-3 \pm \sqrt{17}\)

2. \(x^2+6x=-3\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{3,4}=\frac{-6 \pm \sqrt{36-12}}{2}=-3 \pm \sqrt{6}\)

Ответ: \(x_{1,2}=-3 \pm \sqrt{17}\), \(x_{3,4}=-3 \pm \sqrt{6}\).

Дано уравнение: \((x^2-2x-5)^2-2(x^2-2x-5)=3\)

Введем подстановку: \(z = x^2-2x-5\)

Уравнение примет вид: \(z^2-2z-3=0\)

Решим для \(z\): \(z_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\)

Таким образом, \(z_1=3\) и \(z_2=-1\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(x^2-2x-5=3\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2}=4, -2\)

2. \(x^2-2x-5=-1\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{3,4}=\frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2}=1 \pm \sqrt{5}\)

Ответ: \(x_1=4\), \(x_2=-2\), \(x_{3,4}=1 \pm \sqrt{5}\).

Дано уравнение: \((x^2+3x-25)^2-2(x^2+3x-25)=-7\)

Введем подстановку: \(z = x^2+3x-25\)

Уравнение примет вид: \(z^2-2z+7=0\)

Дискриминант равен \(D=4-4 \cdot 7=-24\), что меньше нуля. Следовательно, нет реальных решений.

Ответ: Нет реальных решений.

Дано уравнение: \((y+2)^4-(y+2)^2=12\)

Введем подстановку: \(z = (y+2)^2, z \geq 0\)

Уравнение примет вид: \(z^2-z-12=0\)

Решим для \(z\): \(z_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+48}}{2}\)

Таким образом, \(z_1=4\) и \(z_2=-3\) (не удовлетворяет условию \(z \geq 0\))

Теперь у нас есть один случай:

1. \((y+2)^2=4\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(y_1=0\) и \(y_2=-4\)

Ответ: \(y_1=0\), \(y_2=-4\).

Дано уравнение: \((x^2+2x)(x^2+2x+2)=3\)

Введем подстановку: \(z = x^2+2x\)

Уравнение примет вид: \(z(z+2)=3\)

Решим для \(z\): \(z_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{2}\)

Таким образом, \(z_1=1\) и \(z_2=-3\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(x^2+2x=1\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2}=-1 \pm \sqrt{2}\)

2. \(x^2+2x=-3\)

Этот случай не имеет реальных решений, так как дискриминант отрицателен.

Ответ: \(x_{1}=-1+\sqrt{2}\), \(x_{2}=-1-\sqrt{2}\).

Дано уравнение: \((x^2-x-16)(x^2-x+2)=88\)

Введем подстановку: \(z = x^2-x+2\)

Уравнение примет вид: \((z-18)z=88\)

Решим для \(z\): \(z_{1,2}=\frac{18 \pm \sqrt{324+352}}{2}\)

Таким образом, \(z_1=22\) и \(z_2=-4\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(x^2-x+2=22\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{1}=\frac{1 \pm \sqrt{1+80}}{2}=5\) (игнорируем отрицательный корень)

2. \(x^2-x+2=-4\)

Этот случай не имеет реальных решений, так как дискриминант отрицателен.

Ответ: \(x_{1}=-4\).

Дано уравнение: \((2x^2+7x-8)(2x^2+7x-3)-6=0\)

Введем подстановку: \(z = 2x^2+7x-3\)

Уравнение примет вид: \((z-5)z-6=0\)

Решим для \(z\): \(z_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25+24}}{2}\)

Таким образом, \(z_1=6\) и \(z_2=-1\)

Теперь у нас есть два случая:

1. \(2x^2+7x-3=6\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{1}=1\) и \(x_{2}=-4.5\)

2. \(2x^2+7x-3=-1\)

Решив этот квадратный корень, получим: \(x_{3,4}=\frac{-7 \pm \sqrt{49+16}}{4}=\frac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}\)

Ответ: \(x_{1}=1\), \(x_{2}=-4.5\), \(x_{3}=\frac{-7-\sqrt{65}}{4}\), \(x_{4}=\frac{-7+\sqrt{65}}{4}\).