§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 321 — стр. 105

Дано уравнение: $(x^2+6x{)}^2-5(x^2+6x)=24$

Введем подстановку: $z=x^2+6x$

Уравнение примет вид: $z^2-5z-24=0$

Решим для $z$: $z_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25+96}}{2}$

Таким образом, $z_1=8$ и $z_2=-3$

Теперь у нас есть два случая:

1. $x^2+6x=8$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36+32}}{2}=-3\pm \sqrt{17}$

2. $x^2+6x=-3$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_{3,4}=\frac{-6\pm \sqrt{36-12}}{2}=-3\pm \sqrt{6}$

Ответ: $x_{1,2}=-3\pm \sqrt{17}$, $x_{3,4}=-3\pm \sqrt{6}$.

Дано уравнение: $(x^2-2x-5{)}^2-2(x^2-2x-5)=3$

Введем подстановку: $z=x^2-2x-5$

Уравнение примет вид: $z^2-2z-3=0$

Решим для $z$: $z_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

Таким образом, $z_1=3$ и $z_2=-1$

Теперь у нас есть два случая:

1. $x^2-2x-5=3$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=4,-2$

2. $x^2-2x-5=-1$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_{3,4}=\frac{2\pm \sqrt{4+16}}{2}=1\pm \sqrt{5}$

Ответ: $x_1=4$, $x_2=-2$, $x_{3,4}=1\pm \sqrt{5}$.

Дано уравнение: $(x^2+3x-25{)}^2-2(x^2+3x-25)=-7$

Введем подстановку: $z=x^2+3x-25$

Уравнение примет вид: $z^2-2z+7=0$

Дискриминант равен $D=4-4\cdot 7=-24$, что меньше нуля. Следовательно, нет реальных решений.

Ответ: Нет реальных решений.

Дано уравнение: $(y+2{)}^4-(y+2{)}^2=12$

Введем подстановку: $z=(y+2{)}^2,z\ge 0$

Уравнение примет вид: $z^2-z-12=0$

Решим для $z$: $z_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+48}}{2}$

Таким образом, $z_1=4$ и $z_2=-3$ (не удовлетворяет условию $z\ge 0$)

Теперь у нас есть один случай:

1. $(y+2{)}^2=4$

Решив этот квадратный корень, получим: $y_1=0$ и $y_2=-4$

Ответ: $y_1=0$, $y_2=-4$.

Дано уравнение: $(x^2+2x)(x^2+2x+2)=3$

Введем подстановку: $z=x^2+2x$

Уравнение примет вид: $z(z+2)=3$

Решим для $z$: $z_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

Таким образом, $z_1=1$ и $z_2=-3$

Теперь у нас есть два случая:

1. $x^2+2x=1$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$

2. $x^2+2x=-3$

Этот случай не имеет реальных решений, так как дискриминант отрицателен.

Ответ: $x_1=-1+\sqrt{2}$, $x_2=-1-\sqrt{2}$.

Дано уравнение: $(x^2-x-16)(x^2-x+2)=88$

Введем подстановку: $z=x^2-x+2$

Уравнение примет вид: $(z-18)z=88$

Решим для $z$: $z_{1,2}=\frac{18\pm \sqrt{324+352}}{2}$

Таким образом, $z_1=22$ и $z_2=-4$

Теперь у нас есть два случая:

1. $x^2-x+2=22$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_1=\frac{1\pm \sqrt{1+80}}{2}=5$ (игнорируем отрицательный корень)

2. $x^2-x+2=-4$

Этот случай не имеет реальных решений, так как дискриминант отрицателен.

Ответ: $x_1=-4$.

Дано уравнение: $(2x^2+7x-8)(2x^2+7x-3)-6=0$

Введем подстановку: $z=2x^2+7x-3$

Уравнение примет вид: $(z-5)z-6=0$

Решим для $z$: $z_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25+24}}{2}$

Таким образом, $z_1=6$ и $z_2=-1$

Теперь у нас есть два случая:

1. $2x^2+7x-3=6$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_1=1$ и $x_2=-4.5$

2. $2x^2+7x-3=-1$

Решив этот квадратный корень, получим: $x_{3,4}=\frac{-7\pm \sqrt{49+16}}{4}=\frac{-7\pm \sqrt{65}}{4}$

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-4.5$, $x_3=\frac{-7-\sqrt{65}}{4}$, $x_4=\frac{-7+\sqrt{65}}{4}$.