§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 326 — стр. 105

Решим уравнение \(x^4-20 x^2+64=0\):

\(x^2=z, \quad z^2-20 z+64=0\)

\(z_{1,2}=\frac{20 \pm \sqrt{400-256}}{2}\)

\(z_1=16, \quad z_2=4\)

Теперь выразим \(x^4-20 x^2+64\) через \(z\):

\(x^4-20 x^2+64=\left(x^2-16\right)\left(x^2-4\right)=(x-4)(x+4)(x-2)(x+2)\).

Решим уравнение \(x^4-17 x^2+16=0\):

\(x^2=z, \quad z^2-17 z+16=0\)

\(z_{1,2}=\frac{17 \pm \sqrt{289-64}}{2}\)

\(z_1=1, \quad z_2=16\)

Теперь выразим \(x^4-17 x^2+16\) через \(z\):

\(x^4-17 x^2+16=\left(x^2-1\right)\left(x^2-16\right)=(x-1)(x+1)(x+4)(x-4)\).

Решим уравнение \(x^4-5 x^2-36=0\):

\(x^2=z, \quad z^2-5 z-36=0\)

\(z_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{2}\)

\(z_1=9, \quad z_2=-4\)

Теперь выразим \(x^4-5 x^2-36\) через \(z\):

\(x^4-5 x^2-36=\left(x^2-9\right)\left(x^2+4\right)=(x-3)(x+3)(x^2+4)\).

Решим уравнение \(x^4-3 x^2-4=0\):

\(x^2=z, \quad z^2-3 z-4=0\)

\(z_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2}\)

\(z_1=4, \quad z_2=-1\)

Теперь выразим \(x^4-3 x^2-4\) через \(z\):

\(x^4-3 x^2-4=\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)=(x-2)(x+2)(x^2+1)\).

Решим уравнение \(9 x^4-10 x^2+1=0\):

\(x^2=z, \quad 9 z^2-10 z+1=0\)

\(z_{1,2}=\frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{18}\)

\(z_1=1, \quad z_2=\frac{1}{9}\)

Теперь выразим \(9 x^4-10 x^2+1\) через \(z\):

\(9 x^4-10 x^2+1=9\left(x^2-1\right)\left(x^2-\frac{1}{9}\right)=(x-1)(x+1)(3 x-1)(3 x+1)\).

Решим уравнение \(4 x^4-17 x^2+4=0\):

\(x^2=z, \quad 4 z^2-17 z+4=0\)

\(z_{1,2}=\frac{17 \pm \sqrt{289-64}}{8}\)

\(z_1=4, \quad z_2=\frac{1}{4}\)

Теперь выразим \(4 x^4-17 x^2+4\) через \(z\):

\(4 x^4-17 x^2+4=4\left(x^2-4\right)\left(x^2-\frac{1}{4}\right)=(x-2)(x+2)(2 x-1)(2 x+1)\).