§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 329 — стр. 106

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}-5 x+3}{x-5}-\frac{x^{2}+5 x+1}{x+5}=\frac{1}{4}\).

Область допустимых значений: \(x-5 \neq 0, x+5 \neq 0\), \(x \neq \pm 5\).

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{x(x-5)+3}{x-5}-\frac{x(x+5)+1}{x+5}=\frac{1}{4}\)

Упростим выражение:

\(x+\frac{3}{x-5}-x-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{3 x+15-x+5}{x^{2}-25}=\frac{1}{4}\)

\(8 x+80=x^{2}-25\)

\(x^{2}-8 x-105=0\)

Решим квадратное уравнение:

\(x_{1,2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+420}}{2}\)

\(x_{1}=15\)

\(x_{2}=-7\).

Ответ: \(x_{1}=15, x_{2}=-7\);

Рассмотрим уравнение \(\frac{x^{2}+6 x+10}{x+3}-\frac{x^{2}-6 x+7}{x-3}=7 \frac{1}{8}\).

Область допустимых значений: \(x+3 \neq 0, x-3 \neq 0\), \(x \neq \pm 3\).

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{\left(x^{2}+6 x+9\right)+1}{x+3}-\frac{\left(x^{2}-6 x+9\right)-2}{x-3}=\frac{57}{8}\),

\(x+3+\frac{1}{x+3}-(x-3)+\frac{2}{x-3}=\frac{57}{8}\)

\(\frac{x-3+2 x+6}{x^{2}-9}+6=\frac{57}{8}\)

\(\frac{3 x+3+6 x^{2}-54}{x^{2}-9}=\frac{57}{8}\)

\(48 x^{2}+24 x-408=57 x^{2}-513\)

\(9 x^{2}-24 x-105=0\)

\(3 x^{2}-8 x-35=0\)

Решим квадратное уравнение:

\(x_{1,2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+420}}{6}\)

\(x_{1}=5\)

\(x_{2}=-\frac{7}{3}=-2 \frac{1}{3}\)

Ответ: \(x_{1}=5, x_{2}=-2 \frac{1}{3}\).