§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 330 — стр. 106

Рассмотрим уравнение \(\frac{1}{x^{2}-6x+8}-\frac{1}{x-2}+\frac{10}{x^{2}-4}=0\)

Область допустимых значений: \(x^{2}-6x+8 \neq 0, x-2 \neq 0, x^{2}-4 \neq 0\).

Решим уравнение \(x^{2}-6 x+8=0\):

\(x_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{36-32}}{2}\)

\(x_{1}=4\)

\(x_{2}=2\)

Убедимся, что корни уравнения не входят в область допустимых значений.

Приведем уравнение к общему знаменателю:

\(\frac{1}{(x-4)(x-2)}-\frac{1}{x-2}+\frac{10}{(x-2)(x+2)}=0\)

\(x+2-\left(x^{2}-2 x-8\right)+10 x-40=0\)

\(-x^{2}+13 x-30=0\)

\(x^{2}-13 x+30=0\)

\(x_{1,2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-120}}{2}\)

\(x_{1}=10\)

\(x_{2}=3\)

Ответ: \(x_{1}=10, x_{2}=3\);

Рассмотрим уравнение \(\frac{3}{x^{2}-x-6}+\frac{3}{x+2}=\frac{7}{x^{2}-9}\).

Область допустимых значений: \(x^{2}-x-6 \neq 0, x+2 \neq 0, x^{2}-9 \neq 0\).

Решим уравнение \(x^{2}-x-6=0\):

\(x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2}\)

\(x_{1}=3\)

\(x_{2}=-2\)

Убедимся, что корни уравнения не входят в область допустимых значений.

Приведем уравнение к общему знаменателю:

\(\frac{3}{(x-3)(x+2)}+\frac{3}{x+2}=\frac{7}{(x-3)(x+3)}\)

\(3 x+9+3 x^{2}-27-7 x-14=0\)

\(3 x^{2}-4 x-32=0\)

\(x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{16+384}}{6}\)

\(x_{1}=4\)

\(x_{2}=-\frac{16}{6}=-2 \frac{2}{3}\)

Ответ: \(x_{1}=4, x_{2}=-2 \frac{2}{3}\).