§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 333 — стр. 106

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2\frac{1}{2}\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\);

Введем замену: \(\frac{x^{2}+1}{x}=t, \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t}\)

Получим уравнение:

\(t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\)

Приведем его к квадратному виду:

\(t^{2}+1-\frac{5}{2} t=0\)

\(2 t^{2}-5 t+2=0\)

Решим квадратное уравнение:

\(t_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{4}\)

\(t_{1}=2, \quad t_{2}=\frac{1}{2}\)

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(\frac{x^{2}+1}{x}=2\)

\(x^{2}-2 x+1=0\)

\((x-1)^{2}=0\)

\(x_{1}=1\)

2. \(\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{1}{2}\)

\(2 x^{2}+1=x\)

\(2 x^{2}-x+1=0\)

\(D=1-4 \cdot 2=-7<0\)

Корней нет.

Ответ: \(x=1\).

Рассмотрим уравнение:

\(\frac{x^{2}+2}{3 x-2}+\frac{3 x-2}{x^{2}+2}=2 \frac{1}{6}\)

Введем замену: \(\frac{x^{2}+2}{3 x-2}=t, \frac{3 x-2}{x^{2}+2}=\frac{1}{t}\)

Получим уравнение:

\(t+\frac{1}{t}=\frac{13}{6}\)

Приведем его к квадратному виду:

\(t^{2}+1-\frac{13}{6} t=0\)

\(6 t^{2}+6-13 t=0\)

Решим квадратное уравнение:

\(t_{1,2}=\frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{12}\)

\(t_{1}=\frac{3}{2}, \quad t_{2}=\frac{2}{3}\)

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(\frac{x^{2}+2}{3 x-2}=\frac{3}{2}\)

\(2 x^{2}+4=9 x-6\)

\(2 x^{2}-9 x+10=0\)

\(x_{1,2}=\frac{9 \pm \sqrt{81-80}}{4}\)

\(x_{1}=2,5, \quad x_{2}=2\)

2. \(\frac{x^{2}+2}{3 x-2}=\frac{2}{3}\)

\(3 x^{2}+6=6 x-4\)

\(3 x^{2}-6 x+10=0\)

\(D=36-4 \cdot 30=-84<0\)

Корней нет.

Ответ: \(x_{1}=2, x_{2}=2,5\).