§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 335 — стр. 106

Рассмотрим уравнение:

\(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}-16\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2}=15\)

Область допустимых значений: \(\{x \neq 2, x \neq-1\}\)

Введем замену: \(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}=z, z \geq 0, \frac{1}{z}=\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^{2}\)

\(z-\frac{16}{z}=15\)

\(z^{2}-16-15 z=0\)

\(z_{1,2}=\frac{15 \pm \sqrt{225+64}}{2}\)

\(z_{1}=-1-\text{ не соответствует условию}\)

\(z_{2}=16\)

\(\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2}=16\)

\(\frac{x+1}{x-2}= \pm 4\)

\(\frac{x+1}{x-2}=4\) или \(\frac{x+1}{x-2}=-4\)

1. \(x+1=4 x-8\)

\(3 x-9=0\)

\(x_{1}=3\)

2. \(x+1=-4 x+8\)

\(5 x-7=0\)

\(x_{2}=\frac{7}{5}=1 \frac{2}{5}\)

Ответ: \(x_{1}=3, x_{2}=1 \frac{2}{5}\).

Рассмотрим уравнение:

\(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}-9\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^{2}=8\)

Область допустимых значений: \(\{x \neq 5, x \neq-3\}\)

Введем замену: \(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}=z, z \geq 0, \frac{1}{z}=\left(\frac{x-5}{x+3}\right)^{2}\)

\(z-\frac{9}{z}=8\)

\(z^{2}-9-8 z=0\)

\(z_{1,2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+36}}{2}\)

\(z_{1}=9\)

\(z_{2}=-1-\text{ не соответствует условию}\)

\(\left(\frac{x+3}{x-5}\right)^{2}=9\)

\(\frac{x+3}{x-5}= \pm 3\)

\(\frac{x+3}{x-5}=3\) или \(\frac{x+3}{x-5}=-3\)

1. \(x+3=3 x-15\)

\(2 x-18=0\)

\(x_{1}=9\)

2. \(x+3=-3 x+15\)

\(4 x-12=0\)

\(x_{2}=3\)

Ответ: \(x_{1}=9, x_{2}=3\).