§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 336 — стр. 106

Рассмотрим уравнение:

\(2\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)=2\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\); \(x+\frac{1}{x}=z\)

\(z^{2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\)

\(2\left(z^{2}-2\right)-z=2\)

\(2 z^{2}-4-z-2=0\)

\(2 z^{2}-z-6=0\)

\(z_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+48}}{4}\)

\(z_{1}=2\)

\(z_{2}=-\frac{3}{2}\)

\(x+\frac{1}{x}=2\) или \(x+\frac{1}{x}=-\frac{3}{2}\)

1. \(x^{2}+1-2 x=0\)

\((x-1)^{2}=0\),

\(x=1\)

2. \(x^{2}+1+\frac{3}{2} x=0\)

\(2 x^{2}+2+3 x=0\)

\(D=9-4 \cdot 4=-7<0-\text{ корней нет.}\)

Ответ: \(x=1\).

Рассмотрим уравнение:

\(9 x^{2}-18 x+\frac{9}{x^{2}}-\frac{18}{x}=22\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\);

\(9\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)-18\left(x+\frac{1}{x}\right)=22\)

\(x+\frac{1}{x}=z\)

\(z^{2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}\)

\(9\left(z^{2}-2\right)-18 z-22=0\)

\(9 z^{2}-18-18 z-22=0\)

\(9 z^{2}-18 z-40=0\)

\(z_{1,2}=\frac{18 \pm \sqrt{324+1440}}{18}\)

\(z_{1}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}=3 \frac{1}{3}\)

\(z_{2}=-\frac{24}{18}=-\frac{4}{3}=-1 \frac{1}{3}\)

\(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}\) или \(x+\frac{1}{x}=-\frac{4}{3}\)

1. \(x^{2}+1-\frac{10}{3} x=0\)

\(3 x^{2}+3-10 x=0\)

\(x_{1,2}=\frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{6}\)

\(x_{1}=3\)

\(x_{2}=\frac{1}{3}\)

2. \(x^{2}+1+\frac{4}{3} x=0\)

\(3 x^{2}+3+4 x=0\)

\(D=16-4 \cdot 9=-20<0-\text{ корней нет}\)

Ответ: \(x_{1}=3, x_{2}=\frac{1}{3}\).