§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 337 — стр. 107

Рассмотрим неравенство:
\(\left(a+\frac{1}{a}\right) \cdot 3 \frac{1}{4}<a^{3}+\frac{1}{a^{3}}\)
Обозначим \(a+\frac{1}{a}=z\). Тогда:
\(z^{3}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^{3}=a^{3}+3 a+\frac{3}{a}+\frac{1}{a^{3}}=a^{3}+\frac{1}{a^{3}}+3\left(a+\frac{1}{a}\right)\)
Имеем:
\(a^{3}+\frac{1}{a^{3}}=z^{3}-3z\)
Подставим это в исходное неравенство:
\(\frac{13}{4} z<z^{3}-3z\)
\(4 z^{3}-12 z-13 z>0\)
\(4 z^{3}-25 z>0\)
\(z(4 z^{2}-25)>0\)
Находим корни уравнения \(4 z^{2}-25=0\):
\(z_{1}=0\)
\(4 z^{2}=25\)
\(z_{2,3}= \pm \frac{5}{2}\)
Применяем метод интервалов: \(z \in(-2,5 ; 0) \cup(2,5 ;+\infty)\)
1. \(a+\frac{1}{a}=0\)
\(a^{2}+1=0\) - решений нет.
2. \(a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\)
\(a^{2}+1-\frac{5}{2} a=0\)
\(2 a^{2}-5 a+2=0\)
\(a_{1,2}=\underline{5 \pm \sqrt{25-16}}\)
\(a_{1}=2\)
\(a_{2}=\frac{1}{2}\)
3. \(a+\frac{1}{a}=-\frac{5}{2}\) - не подходит по условию.
Ответ: \(a_{1}=2, a_{2}=\frac{1}{2}\).