§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 338 — стр. 107

Рассмотрим уравнение:

\(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=22\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\);

Обозначим \(x+\frac{1}{x}=z, z \neq 0\). Тогда:

\(z^{3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}+3 x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=z^{3}-3 z\)

\(z^{3}-3 z=22 z\)

\(z^{3}-25 z=0\)

\(z\left(z^{2}-25\right)=0\)

\(z_{1}=0-\text{ не соответствует условию}\)

\(z_{2,3}= \pm 5\)

\(x+\frac{1}{x}=5\) или \(x+\frac{1}{x}=-5\)

1. \(x^{2}+1-5 x=0\)

\(x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25-4}}{2}=\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}\)

2. \(x^{2}+1+5 x=0\)

\(x_{3,4}=\frac{-5 \pm \sqrt{25-4}}{2}=\frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}\)

Ответ: \(x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}, x_{3,4}=\frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}\).

\(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=19\left(x-\frac{1}{x}\right)\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\);

Обозначим \(x-\frac{1}{x}=z\),

\(z^{3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}-3 x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{3}}=x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-3\left(x-\frac{1}{x}\right)\)

\(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=z^{3}+3 z\)

\(z^{3}+3 z=19 z\)

\(z^{3}-16 z=0\)

\(z\left(z^{2}-16\right)=0\)

\(z_{1}=0\)

\(z_{2,3}= \pm 4\)

\(x-\frac{1}{x}=0\) или \(x-\frac{1}{x}=4\) или \(x-\frac{1}{x}=-4\)

1. \(x^{2}-1=0\)

\(x_{1,2}= \pm 1\)

2. \(x^{2}-1-4 x=0\)

\(x_{3,4}=\frac{4 \pm \sqrt{16+4}}{2}=2 \pm \sqrt{5}\)

3. \(x^{2}-1+4 x=0\)

\(x_{5,6}=\frac{-4 \pm \sqrt{16+4}}{2}=-2 \pm \sqrt{5}\)

Ответ: \(x_{1,2}= \pm 1, x_{3,4}=2 \pm \sqrt{5}, x_{5,6}=-2 \pm \sqrt{5}\).