§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 5 — 338 — стр. 107

Рассмотрим уравнение:

$x^3+\frac{1}{x^3}=22(x+\frac{1}{x})$

Область допустимых значений: $x\ne 0$;

Обозначим $x+\frac{1}{x}=z,z\ne 0$. Тогда:

$z^3={(x+\frac{1}{x})}^3=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})$

$x^3+\frac{1}{x^3}=z^3-3z$

$z^3-3z=22z$

$z^3-25z=0$

$z(z^2-25)=0$

$z_1=0-\text{ не соответствует условию}$

$z_{2,3}=\pm 5$

$x+\frac{1}{x}=5$ или $x+\frac{1}{x}=-5$

1. $x^2+1-5x=0$

$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25-4}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$

2. $x^2+1+5x=0$

$x_{3,4}=\frac{-5\pm \sqrt{25-4}}{2}=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}$

Ответ: $x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},x_{3,4}=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}$.

$x^3-\frac{1}{x^3}=19(x-\frac{1}{x})$

Область допустимых значений: $x\ne 0$;

Обозначим $x-\frac{1}{x}=z$,

$z^3={(x-\frac{1}{x})}^3=x^3-3x+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}=x^3-\frac{1}{x^3}-3(x-\frac{1}{x})$

$x^3-\frac{1}{x^3}=z^3+3z$

$z^3+3z=19z$

$z^3-16z=0$

$z(z^2-16)=0$

$z_1=0$

$z_{2,3}=\pm 4$

$x-\frac{1}{x}=0$ или $x-\frac{1}{x}=4$ или $x-\frac{1}{x}=-4$

1. $x^2-1=0$

$x_{1,2}=\pm 1$

2. $x^2-1-4x=0$

$x_{3,4}=\frac{4\pm \sqrt{16+4}}{2}=2\pm \sqrt{5}$

3. $x^2-1+4x=0$

$x_{5,6}=\frac{-4\pm \sqrt{16+4}}{2}=-2\pm \sqrt{5}$

Ответ: $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=2\pm \sqrt{5},x_{5,6}=-2\pm \sqrt{5}$.