§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 339 — стр. 107

Рассмотрим неравенство \(x^{2}-5 x-50<0\). Найдем его корни:

\(x^{2}-5 x-50=0\)

\(x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{25+200}}{2}\)

\(x_{1}=10\)

\(x_{2}=-5\)

Парабола, ветви направлены вверх. Теперь определим знак выражения в интервалах между корнями:

\(x \in(-5 ; 10)\).

Рассмотрим неравенство \(-m^{2}-8 m+9 \geq 0\). Найдем его корни:

\(-m^{2}-8 m+9=0\)

\(m_{1,2}=\frac{8 \pm \sqrt{64+36}}{-2}\)

\(m_{1}=-9\)

\(m_{2}=1\)

Парабола, ветви направлены вниз. Теперь определим знак выражения в интервалах:

\(m \in[-9 ; 1]\).

Рассмотрим неравенство \(3 y^{2}+4 y-4>0\). Найдем его корни:

\(3 y^{2}+4 y-4=0\)

\(y_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{16+48}}{6}\)

\(y_{1}=\frac{2}{3}\)

\(y_{2}=-2\)

Парабола, ветви направлены вверх. Теперь определим знак выражения в интервалах:

\(y \in(-\infty ;-2) \cup\left(\frac{2}{3} ;+\infty\right)\).

Рассмотрим неравенство \(8 p^{2}+2 p \geq 21\). Найдем его корни:

\(8 p^{2}+2 p-21 \geq 0\)

\(8 p^{2}+2 p-21=0\)

\(p_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{4+672}}{16}\)

\(p_{1}=\frac{24}{16}=1 \frac{1}{2}\)

\(p_{2}=-\frac{28}{16}=-1 \frac{3}{4}\)

Парабола, ветви направлены вверх. Теперь определим знак выражения в интервалах:

\(p \in\left(-\infty ;-1 \frac{3}{4}\right] \cup\left[1 \frac{1}{2} ;+\infty\right)\).

Рассмотрим неравенство \(12 x-9 \leq 4 x^{2}\). Приведем его к квадратичному виду:

\(4 x^{2}-12 x+9 \geq 0\)

Вычислим дискриминант:

\(D=144-4 \cdot 36=0\)

Уравнение имеет один корень, а вершина параболы лежит на оси \(x\). Значит, неравенство выполняется при любом \(x\).

Рассмотрим неравенство \(-9 x^{2}<1-6 x\). Приведем его к квадратичному виду:

\(9 x^{2}-6 x+1>0\)

Вычислим дискриминант:

\(D=36-4 \cdot 9=0\)

Уравнение имеет один корень, а вершина параболы лежит на оси \(x\). Значит, корень равен \(\frac{1}{3}\).

\(x=-\frac{6}{2 \cdot 9}=\frac{1}{3}\)

Теперь определим знак выражения в интервалах:

\(x \in\left(-\infty ; \frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{3} ;+\infty\right)\).