§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 340 — стр. 107

Рассмотрим неравенство \(2(x+1)(x-3)>(x+5)(x-7)\). Раскроем скобки и упростим выражение:

\(2 x^{2}-4 x-6>x^{2}-2 x-35\)

\(x^{2}-2 x+29>0\)

Парабола, ветви направлены вверх. Для поиска минимального значения выделим полный квадрат:

\((x-1)^{2}+28>0\)

Неравенство выполняется при любом \(x\), то есть минимальное значение равно 28 при \(x=1\), так как \((x-1)^{2} \geq 0\).

Рассмотрим неравенство \(\frac{1}{4}(x+5)(x-7) \leq (x+2)(x-4)\). Раскроем скобки и упростим выражение:

\(x^{2}-2 x-35 \leq 4 x^{2}-8 x-32\)

\(3 x^{2}-6 x+3 \geq 0\)

Парабола, ветви направлены вверх. Для поиска минимального значения выделим полный квадрат:

\(3(x-1)^{2} \geq 0\)

Неравенство выполняется при любом \(x\).