§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 344 — стр. 107

\(x^4 - 12x^2 + c = 0\)

Проведем замену \(x^2 = z\) (\(z \geq 0\)), тогда у нас получится уравнение \(z^2 - 12z + c = 0\). Вычислим дискриминант:

\(D = 144 - 4c.\)

Если \(D < 0\), то \(144 - 4c < 0\), что приводит к условию \(c > 36\). Таким образом, уравнение не имеет корней при \(c > 36\).

Если \(D \geq 0\), то \(z_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{D}}{2}\), что дает существование положительных корней. Таким образом, при \(c > 36\) уравнение не имеет корней.

Ответ: \(c > 36\).

\(x^4 + cx^2 + 100 = 0\)

Проведем замену \(x^2 = z\) (\(z \geq 0\)), тогда у нас получится уравнение \(z^2 + cz + 100 = 0\). Вычислим дискриминант:

\(D = c^2 - 400.\)

Если \(D < 0\), то \(c^2 - 400 < 0\), что приводит к условию \(-20 < c < 20\). Таким образом, уравнение не имеет корней при \(-20 < c < 20\).

Если \(D \geq 0\), то \(x_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{D}}{2}\), и оба корня должны быть отрицательными. Это происходит при \(c > \sqrt{D}\). После вычислений получаем условие \(c > 0\).

Ответ: \(c > 0\).