§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 344 — стр. 107

$x^4-12x^2+c=0$

Проведем замену $x^2=z$ ($z\ge 0$), тогда у нас получится уравнение $z^2-12z+c=0$. Вычислим дискриминант:

$D=144-4c.$

Если $D<0$, то $144-4c<0$, что приводит к условию $c>36$. Таким образом, уравнение не имеет корней при $c>36$.

Если $D\ge 0$, то $z_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{D}}{2}$, что дает существование положительных корней. Таким образом, при $c>36$ уравнение не имеет корней.

Ответ: $c>36$.

$x^4+c{x}^2+100=0$

Проведем замену $x^2=z$ ($z\ge 0$), тогда у нас получится уравнение $z^2+cz+100=0$. Вычислим дискриминант:

$D=c^2-400.$

Если $D<0$, то $c^2-400<0$, что приводит к условию $-20<c<20$. Таким образом, уравнение не имеет корней при $-20<c<20$.

Если $D\ge 0$, то $x_{1,2}=\frac{-c\pm \sqrt{D}}{2}$, и оба корня должны быть отрицательными. Это происходит при $c>\sqrt{D}$. После вычислений получаем условие $c>0$.

Ответ: $c>0$.