При каких значениях \(c\) не имеет корней уравнение:
а) \(x^{4}-12x^{2}+c=0\);
б) \(x^{4}+cx^{2}+100=0\)?
Биквадратное уравнение не имеет корней в том случае, если после замены соответствующее квадратное уравнение не имеет неотрицательных корней.
а
\(x^4 - 12x^2 + c = 0\)
Проведем замену \(x^2 = z\) (\(z \geq 0\)), тогда у нас получится уравнение \(z^2 - 12z + c = 0\). Вычислим дискриминант:
\(D = 144 - 4c.\)
Если \(D < 0\), то \(144 - 4c < 0\), что приводит к условию \(c > 36\). Таким образом, уравнение не имеет корней при \(c > 36\).
Если \(D \geq 0\), то \(z_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{D}}{2}\), что дает существование положительных корней. Таким образом, при \(c > 36\) уравнение не имеет корней.
Ответ: \(c > 36\).
б
\(x^4 + cx^2 + 100 = 0\)
Проведем замену \(x^2 = z\) (\(z \geq 0\)), тогда у нас получится уравнение \(z^2 + cz + 100 = 0\). Вычислим дискриминант:
\(D = c^2 - 400.\)
Если \(D < 0\), то \(c^2 - 400 < 0\), что приводит к условию \(-20 < c < 20\). Таким образом, уравнение не имеет корней при \(-20 < c < 20\).
Если \(D \geq 0\), то \(x_{1,2} = \frac{-c \pm \sqrt{D}}{2}\), и оба корня должны быть отрицательными. Это происходит при \(c > \sqrt{D}\). После вычислений получаем условие \(c > 0\).
Ответ: \(c > 0\).
Решебник
"Алгебра - Учебник" по предмету Математика за 9 класс.
Aвторы:
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Задание
При каких значениях \(c\) не имеет корней уравнение: а) \(x^{4}-12x^{2}+c=0\); б) \(x^{4}+cx^{2}+100=0\)?
Еще решебники за 9 класс
Мы подобрали сборники ГДЗ за 9 класс, которые могут быть Вам интересны.
