§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 345 — стр. 107

Уравнение $x^4-13x^2+k=0$ может быть решено путем замены переменной $x^2=z$ ($z\ge 0$), что приводит к уравнению $z^2-13z+k=0$. Решим это уравнение:
$z_{1,2}=\frac{13\pm \sqrt{169-4k}}{2}.$
Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант $D=169-4k$ был положительным: $D>0$.
а) Если $D>0$, то оба корня $z_1$ и $z_2$ положительны:
$\{\begin{array}{l}\frac{13+\sqrt{169-4k}}{2}>0\\ \frac{13-\sqrt{169-4k}}{2}>0\end{array}.$
Уравнение $13+\sqrt{169-4k}>0$ выполняется при любом возможном $k$. А уравнение $13-\sqrt{169-4k}>0$ приводит к условию:
$169-4k<169,$
$4k>0,$
$k>0.$
Таким образом, условия для существования корней: $0<k<\frac{169}{4}$.
Ответ: $0<k<\frac{169}{4}$.
б) Если $D>0$ и $z_1>0$, но $z_2<0$, или если $D=0$:
1. $\{\begin{array}{l}\frac{13+\sqrt{169-4k}}{2}>0\\ \frac{13-\sqrt{169-4k}}{2}<0\end{array}.$
Условие $13-\sqrt{169-4k}<0$ приводит к:
$169-4k<169,$
$4k<0,$
$k<0.$
2. Условие $169-4k=0$ приводит к $k=\frac{169}{4}$.
Ответ: $k<0$ и $k=\frac{169}{4}$.