§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 345 — стр. 107

Уравнение \(x^4 - 13x^2 + k = 0\) может быть решено путем замены переменной \(x^2 = z\) (\(z \geq 0\)), что приводит к уравнению \(z^2 - 13z + k = 0\). Решим это уравнение:
\(z_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4k}}{2}.\)
Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант \(D = 169 - 4k\) был положительным: \(D > 0\).
а) Если \(D > 0\), то оба корня \(z_{1}\) и \(z_{2}\) положительны:
\(\left\{\begin{array}{l}
\frac{13 + \sqrt{169 - 4k}}{2} > 0 \\
\frac{13 - \sqrt{169 - 4k}}{2} > 0
\end{array}\right..\)
Уравнение \(13 + \sqrt{169 - 4k} > 0\) выполняется при любом возможном \(k\). А уравнение \(13 - \sqrt{169 - 4k} > 0\) приводит к условию:
\(169 - 4k < 169,\)
\(4k > 0,\)
\(k > 0.\)
Таким образом, условия для существования корней: \(0 < k < \frac{169}{4}\).
Ответ: \(0 < k < \frac{169}{4}\).
б) Если \(D > 0\) и \(z_{1} > 0\), но \(z_{2} < 0\), или если \(D = 0\):
1. \(\left\{\begin{array}{l}
\frac{13 + \sqrt{169 - 4k}}{2} > 0 \\
\frac{13 - \sqrt{169 - 4k}}{2} < 0
\end{array}\right..\)
Условие \(13 - \sqrt{169 - 4k} < 0\) приводит к:
\(169 - 4k < 169,\)
\(4k < 0,\)
\(k < 0.\)
2. Условие \(169 - 4k = 0\) приводит к \(k = \frac{169}{4}\).
Ответ: \(k < 0\) и \(k = \frac{169}{4}\).