§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 346 — стр. 108

Для решения неравенства \(x^2 + 6x - 7 \leq 0\), начнем с поиска корней уравнения \(x^2 + 6x - 7 = 0\):
\(x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2},\)
\(x_{1} = 1,\)
\(x_{2} = -7.\)
Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Теперь, определим интервалы, на которых парабола меньше или равна нулю: \(x \in [-7; 1]\).
Аналогично, для неравенства \(x^2 - 2x - 15 \leq 0\) найдем корни уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\):
\(x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2},\)
\(x_{1} = 5,\)
\(x_{2} = -3.\)
Уравнение также задает параболу с ветвями, направленными вверх. Интервалы, на которых парабола меньше или равна нулю: \(x \in [-3; 5]\).
Теперь, найдем пересечение интервалов для обоих неравенств:
\(\{x \in [-7; 1]\} \cap \{x \in [-3; 5]\} = [-3; 1].\)
Ответ: \(x \in [-3; 1]\).