§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 347 — стр. 108

Для решения неравенства \(4x^2 - 27x - 7 > 0\) начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(4x^2 - 27x - 7 = 0\):

\(x_{1,2} = \frac{27 \pm \sqrt{729 + 112}}{8},\)

\(x_{1} = 7,\)

\(x_{2} = -\frac{1}{4}.\)

Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Теперь определим интервалы, на которых парабола больше нуля: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (7; +\infty)\).

Поскольку также указано, что \(x > 0\), получим окончательный ответ: \(x \in (7; +\infty)\).

Для неравенства \(-3x^2 + 17x + 6 < 0\) найдем корни уравнения \(-3x^2 + 17x + 6 = 0\):

\(x_{1,2} = \frac{-17 \pm \sqrt{289 + 72}}{-6},\)

\(x_{1} = -\frac{1}{3},\)

\(x_{2} = 6.\)

Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вниз. Интервалы, на которых парабола меньше нуля: \(x < -\frac{1}{3}\).

Ответ: \(x < -\frac{1}{3}\).

Для системы неравенств \(\left\{\begin{array}{c} x + 1 < 0 \\ 2x^2 - 18 > 0 \end{array}\right.\):

1. \(x + 1 < 0\) дает \(x < -1\).

2. Решим \(2x^2 - 18 > 0\), что приводит к \((x-3)(x+3) > 0\). Получаем, что \(x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\).

Итак, система дает \(x < -3\).

Ответ: \(x < -3\).

Для системы неравенств \(\left\{\begin{array}{c} x - 4 > 0 \\ 3x^2 - 15x < 0 \end{array}\right.\):

1. \(x - 4 > 0\) дает \(x > 4\).

2. Решим \(3x^2 - 15x < 0\), что приводит к \(x(x-5) < 0\). Получаем, что \(x \in (0, 5)\).

Итак, система дает \(4 < x < 5\).

Ответ: \(4 < x < 5\).