§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 348 — стр. 108

Решим систему неравенств:

1. \(x^2 + x - 6 < 0\)

Решим уравнение \(x^2 + x - 6 = 0\):

\(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2},\)

\(x_{1} = 2,\)

\(x_{2} = -3.\)

Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Таким образом, интервал, на котором \(x^2 + x - 6\) отрицательно, это \(x \in (-3 ; 2)\).

2. \(-x^2 + 2x + 3 > 0\)

Решим уравнение \(-x^2 + 2x + 3 = 0\):

\(x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2},\)

\(x_{1} = -1,\)

\(x_{2} = 3.\)

Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вниз. Таким образом, интервал, на котором \(-x^2 + 2x + 3\) положительно, это \(x \in (-1 ; 3)\).

Итак, пересечение интервалов, где оба неравенства выполняются, это \(x \in (-1 ; 2)\).

Решим систему неравенств:

1. \(x^2 + 4x - 5 > 0\)

Решим уравнение \(x^2 + 4x - 5 = 0\):

\(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2},\)

\(x_{1} = 1,\)

\(x_{2} = -5.\)

Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Таким образом, интервал, на котором \(x^2 + 4x - 5\) положительно, это \(x \in (-\infty ; -5) \cup (1 ; +\infty)\).

2. \(x^2 - 2x - 8 < 0\)

Решим уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\):

\(x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2},\)

\(x_{1} = 4,\)

\(x_{2} = -2.\)

Уравнение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Таким образом, интервал, на котором \(x^2 - 2x - 8\) отрицательно, это \(x \in (-2 ; 4)\).

Итак, пересечение интервалов, где оба неравенства выполняются, это \(x \in (-2 ; -5) \cup (1 ; 4)\).

\(\{x \in(-\infty ;-5) \cup(1 ;+\infty)\\x \in(-2 ; 4)\)

\(x \in(1 ; 4)\).