§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 349 — стр. 108

Рассмотрим неравенство $(x+1.2)(6-x)(x-4)>0$.

Найдем корни уравнения, приравняв его нулю:

$(x+1.2)(6-x)(x-4)=0.$

Решение: $x_1=-1.2,x_2=6,x_3=4$.

Теперь используем метод интервалов. Выберем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями.

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-1.2)$: Возьмем $x=-2$.

2. Интервал $(-1.2,4)$: Возьмем $x=0$.

3. Интервал $(4,6)$: Возьмем $x=5$.

4. Интервал $(6,+\mathrm{\infty })$: Возьмем $x=7$.

Подставим эти значения в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. $(-2+1.2)(6+2)(-2-4)<0$ - неравенство выполняется.

2. $(0+1.2)(6)(-4)<0$ - неравенство выполняется.

3. $(5+1.2)(-1)(1)>0$ - неравенство выполняется.

4. $(7+1.2)(2)(-6)<0$ - неравенство выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является $x\in (-\mathrm{\infty },-1.2)\cup (4,6)$.

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{3}-x)(\frac{1}{2}-x)(\frac{1}{2}-x)<0$.

Найдем корни уравнения, приравняв его нулю:

$(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{2})(x-\frac{1}{7})=0.$

Решение: $x_1=\frac{1}{7},x_2=\frac{1}{3},x_3=\frac{1}{2}$.

Теперь используем метод интервалов. Выберем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями.

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{7})$: Возьмем $x=0$.

2. Интервал $(\frac{1}{7},\frac{1}{3})$: Возьмем $x=\frac{1}{4}$.

3. Интервал $(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$: Возьмем $x=\frac{3}{8}$.

4. Интервал $(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$: Возьмем $x=1$.

Подставим эти значения в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. $(\frac{1}{3}-0)(\frac{1}{2}-0)(\frac{1}{2}-0)<0$ - неравенство не выполняется.

2. $(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})(\frac{1}{2}-\frac{1}{7})<0$ - неравенство выполняется.

3. $(\frac{1}{3}-\frac{3}{8})(\frac{1}{2}-\frac{3}{8})(\frac{1}{2}-\frac{3}{8})<0$ - неравенство выполняется.

4. $(\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-1)<0$ - неравенство не выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является $x\in (\frac{1}{7},\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$.

Рассмотрим неравенство $(x+0.6)(1.6+x)(1.2-x)>0$.

Найдем корни уравнения, приравняв его нулю:

$(x+0.6)(x+1.6)(x-1.2)=0.$

Решение: $x_1=-0.6,x_2=-1.6,x_3=1.2$.

Теперь используем метод интервалов. Выберем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями.

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-1.6)$: Возьмем $x=-2$.

2. Интервал $(-1.6,-0.6)$: Возьмем $x=-1$.

3. Интервал $(-0.6,1.2)$: Возьмем $x=0$.

4. Интервал $(1.2,+\mathrm{\infty })$:

Возьмем $x=2$.

Подставим эти значения в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. $(-2+0.6)(-0.4)(-3.2)>0$ - неравенство выполняется.

2. $(-1+0.6)(0.6)(-2.2)>0$ - неравенство выполняется.

3. $(0+0.6)(1.6)(2.4)>0$ - неравенство выполняется.

4. $(2+0.6)(3.6)(-0.8)>0$ - неравенство выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является $x\in (-\mathrm{\infty },-1.6)\cup (-0.6,1.2)$.

Рассмотрим неравенство $(1.7-x)(1.8+x)(1.9-x)<0$.

Найдем корни уравнения, приравняв его нулю:

$(x-1.7)(x+1.8)(x-1.9)=0.$

Решение: $x_1=1.7,x_2=-1.8,x_3=1.9$.

Теперь используем метод интервалов. Выберем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями.

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-1.8)$: Возьмем $x=-2$.

2. Интервал $(-1.8,1.7)$: Возьмем $x=0$.

3. Интервал $(1.7,1.9)$: Возьмем $x=1.8$.

4. Интервал $(1.9,+\mathrm{\infty })$: Возьмем $x=2$.

Подставим эти значения в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. $(-2-1.7)(-0.2)(-3.9)<0$ - неравенство выполняется.

2. $(0-1.7)(1.8)(-2.9)<0$ - неравенство выполняется.

3. $(1.8-1.7)(3.6)(0.1)<0$ - неравенство не выполняется.

4. $(2-1.7)(3.8)(0.1)<0$ - неравенство выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является $x\in (-\mathrm{\infty },-1.8)\cup (1.7,1.9)$.