§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 350 — стр. 108

Решим уравнение \((3x-5)(x+4)(2-x) = 0\).

Уравнение раскладывается на три уравнения:

1. \(3x-5 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{3}\)

2. \(x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4\)

3. \(2-x = 0 \Rightarrow x_3 = 2\)

Ответ: \(x = \frac{5}{3}, -4, 2\).

Рассмотрим неравенство \((3x-5)(x+4)(2-x) > 0\).

Теперь используем метод интервалов. Выберем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями.

1. Интервал \((-\infty, -4)\): Возьмем \(x = -5\).

2. Интервал \((-4, \frac{5}{3})\): Возьмем \(x = 0\).

3. Интервал \((\frac{5}{3}, 2)\): Возьмем \(x = 1\).

4. Интервал \((2, +\infty)\): Возьмем \(x = 3\).

Подставим эти значения в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. \((3(-5)-5)(-5+4)(2+5) > 0\) - неравенство выполняется.

2. \((3(0)-5)(0+4)(2-0) < 0\) - неравенство выполняется.

3. \((3(1)-5)(1+4)(2-1) < 0\) - неравенство выполняется.

4. \((3(3)-5)(3+4)(2-3) > 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in (-\infty, -4) \cup \left(\frac{5}{3}, 2\right)\).

Рассмотрим неравенство \((3x-5)(x+4)(2-x) < 0\).

Теперь используем метод интервалов. Выберем по одной точке из каждого интервала, образованного корнями.

1. Интервал \((-\infty, -4)\): Возьмем \(x = -5\).

2. Интервал \((-4, \frac{5}{3})\): Возьмем \(x = 0\).

3. Интервал \((\frac{5}{3}, 2)\): Возьмем \(x = 1\).

4. Интервал \((2, +\infty)\): Возьмем \(x = 3\).

Подставим эти значения в исходное неравенство, чтобы определить знак:

1. \((3(-5)-5)(-5+4)(2+5) < 0\) - неравенство выполняется.

2. \((3(0)-5)(0+4)(2-0) > 0\) - неравенство выполняется.

3. \((3(1)-5)(1+4)(2-1) > 0\) - неравенство выполняется.

4. \((3(3)-5)(3+4)(2-3) < 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in \left(-4, \frac{5}{3}\right) \cup (2, +\infty)\).