§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 352 — стр. 108

Рассмотрим неравенство

\((x^{2}-16)(x+17)>0\).

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \((x-4)(x+4)(x+17) = 0\)

\(x_1 = 4\)

\(x_2 = -4\)

\(x_3 = -17\)

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал \((-\infty, -17)\): возьмем \(x = -18\).

2. Интервал \((-17, -4)\): возьмем \(x = -10\).

3. Интервал \((-4, 4)\): возьмем \(x = 0\).

4. Интервал \((4, +\infty)\): возьмем \(x = 5\).

Подставим значения в исходное неравенство:

1. \((-18-4)(-18+4)(-18+17) > 0\) - неравенство выполняется.

2. \((-10-4)(-10+4)(-10+17) < 0\) - неравенство выполняется.

3. \((0-4)(0+4)(0+17) > 0\) - неравенство выполняется.

4. \((5-4)(5+4)(5+17) > 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in (-17, -4) \cup (4, +\infty)\).

Рассмотрим неравенство

\(\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x^{2}-121\right)<0.\)

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \(\left(x-\frac{2}{3}\right)(x-11)(x+11) = 0,\)

\(x_1 = \frac{2}{3}\),

\(x_2 = 11\).

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал \((- \infty, -11)\): возьмем \(x = -12\).

2. Интервал \((-11, \frac{2}{3})\): возьмем \(x = -5\).

3. Интервал \(\left(\frac{2}{3}, 11\right)\): возьмем \(x = 1\).

4. Интервал \((11, +\infty)\): возьмем \(x = 12\).

Подставим значения в исходное неравенство:

1. \(\left(-12-\frac{2}{3}\right)(-12-11)(-12+11) > 0\) - неравенство выполняется.

2. \(\left(-5-\frac{2}{3}\right)(-5-11)(-5+11) < 0\) - неравенство выполняется.

3. \(\left(1-\frac{2}{3}\right)(1-11)(1+11) > 0\) - неравенство выполняется.

4. \(\left(12-\frac{2}{3}\right)(12-11)(12+11) > 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in \left(-\infty, -11\right) \cup \left(\frac{2}{3}, 11\right)\).

Рассмотрим неравенство

\(x^{3}-25x < 0.\)

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \(x(x-5)(x+5) = 0,\)

\(x_1 = 0\),

\(x_2 = -5\),

\(x_3 = 5\).

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал \((- \infty, -5)\): возьмем \(x = -6\).

2. Интервал \((-5, 0)\): возьмем \(x = -2\).

3. Интервал \((0, 5)\): возьмем \(x = 3\).

4. Интервал \((5, +\infty)\): возьмем \(x = 6\).

Подставим значения в исходное неравенство:

1. \((-6)(-6-5)(-6+5) < 0\) - неравенство выполняется.

2. \((-2)(-2-5)(-2+5) > 0\) - неравенство выполняется.

3. \((3)(3-5)(3+5) < 0\) - неравенство выполняется.

4. \((6)(6-5)(6+5) > 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in (-\infty-5) \cup (0, 5)\).

Рассмотрим неравенство

\(x^{3}-0,01x > 0.\)

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \(x(x-0,1)(x+0,1) = 0,\)

\(x_1 = 0\),

\(x_2 = 0,1\).

\(x_2 = -0,1\).

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал \((- \infty, 0)\): возьмем \(x = -1\).

2. Интервал \((0, 0,1)\): возьмем \(x = 0,05\).

3. Интервал \((0,1, +\infty)\): возьмем \(x = 0,2\).

Подставим значения в исходное неравенство:

1. \((-1)(-1-0,1)(-1+0,1) < 0\) - неравенство выполняется.

2. \((0,05)(0,05-0,1)(0,05+0,1) > 0\) - неравенство выполняется.

3. \((0,2)(0,2-0,1)(0,2+0,1) > 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in (-0,1, 0) \cup (0,1, +\infty)\).

Рассмотрим неравенство

\(\left(x^{2}-9\right)\left(x^{2}-1\right) > 0.\)

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \((x-3)(x+3)(x-1)(x+1) = 0,\)

\(x_1 = -3\),

\(x_2 = -1\),

\(x_3 = 1\),

\(x_4 = 3\).

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал \((- \infty, -3)\): возьмем \(x = -4\).

2. Интервал \((-3, -1)\): возьмем \(x = -2\).

3. Интервал \((-1, 1)\): возьмем \(x = 0\).

4. Интервал \((1, 3)\): возьмем \(x = 2\).

5. Интервал \((3, +\infty)\): возьмем \(x = 4\).

Подставим значения в исходное неравенство:

1. \((-4-3)(-4+3)(-4-1)(-4+1) > 0\) - неравенство выполняется.

2. \((-2-3)(-2+3)(-2-1)(-2+1) < 0\) - неравенство выполняется.

3. \((0-3)(0+3)(0-1)(0+1) > 0\) - неравенство выполняется.

4. \((2-3)(2+3)(2-1)(2+1) < 0\) - неравенство выполняется.

5. \((4-3)(4+3)(4-1)(4+1) > 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 1) \cup (3, +\infty)\).

Рассмотрим неравенство

\(\left(x^{2}-15x\right)\left(x^{2}-36\right) < 0.\)

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. \(x(x-15)(x-6)(x+6) = 0,\)

- \(x_1 = 0\),

- \(x_2 = 15\),

- \(x_3 = 6\),

- \(x_4 = -6\).

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал \((- \infty, -6)\): возьмем \(x = -7\).

2. Интервал \((-6, 0)\): возьмем \(x = -3\).

3. Интервал \((0, 6)\): возьмем \(x = 2\).

4. Интервал \((6, 15)\): возьмем \(x = 10\).

5. Интервал \((15, +\infty)\): возьмем \(x = 16\).

Подставим значения в исходное неравенство:

1. \((-7)(-7-15)(-7-6)(-7+6) < 0\) - неравенство выполняется.

2. \((-3)(-3-15)(-3-6)(-3+6) > 0\) - неравенство выполняется.

3. \((2)(2-15)(2-6)(2+6) < 0\) - неравенство выполняется.

4. \((10)(10-15)(10-6)(10+6) > 0\) - неравенство выполняется.

5. \((16)(16-15)(16-6)(16+6) < 0\) - неравенство выполняется.

Ответ: \(x \in (-\infty, -6) \cup (-6, 0) \cup (6, 15)\).