§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 352 — стр. 108

Рассмотрим неравенство

$(x^2-16)(x+17)>0$.

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $(x-4)(x+4)(x+17)=0$

$x_1=4$

$x_2=-4$

$x_3=-17$

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-17)$: возьмем $x=-18$.

2. Интервал $(-17,-4)$: возьмем $x=-10$.

3. Интервал $(-4,4)$: возьмем $x=0$.

4. Интервал $(4,+\mathrm{\infty })$: возьмем $x=5$.

Подставим значения в исходное неравенство:

1. $(-18-4)(-18+4)(-18+17)>0$ - неравенство выполняется.

2. $(-10-4)(-10+4)(-10+17)<0$ - неравенство выполняется.

3. $(0-4)(0+4)(0+17)>0$ - неравенство выполняется.

4. $(5-4)(5+4)(5+17)>0$ - неравенство выполняется.

Ответ: $x\in (-17,-4)\cup (4,+\mathrm{\infty })$.

Рассмотрим неравенство

$(x-\frac{2}{3})(x^2-121)<0.$

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $(x-\frac{2}{3})(x-11)(x+11)=0,$

$x_1=\frac{2}{3}$,

$x_2=11$.

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-11)$: возьмем $x=-12$.

2. Интервал $(-11,\frac{2}{3})$: возьмем $x=-5$.

3. Интервал $(\frac{2}{3},11)$: возьмем $x=1$.

4. Интервал $(11,+\mathrm{\infty })$: возьмем $x=12$.

Подставим значения в исходное неравенство:

1. $(-12-\frac{2}{3})(-12-11)(-12+11)>0$ - неравенство выполняется.

2. $(-5-\frac{2}{3})(-5-11)(-5+11)<0$ - неравенство выполняется.

3. $(1-\frac{2}{3})(1-11)(1+11)>0$ - неравенство выполняется.

4. $(12-\frac{2}{3})(12-11)(12+11)>0$ - неравенство выполняется.

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty },-11)\cup (\frac{2}{3},11)$.

Рассмотрим неравенство

$x^3-25x<0.$

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x(x-5)(x+5)=0,$

$x_1=0$,

$x_2=-5$,

$x_3=5$.

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-5)$: возьмем $x=-6$.

2. Интервал $(-5,0)$: возьмем $x=-2$.

3. Интервал $(0,5)$: возьмем $x=3$.

4. Интервал $(5,+\mathrm{\infty })$: возьмем $x=6$.

Подставим значения в исходное неравенство:

1. $(-6)(-6-5)(-6+5)<0$ - неравенство выполняется.

2. $(-2)(-2-5)(-2+5)>0$ - неравенство выполняется.

3. $(3)(3-5)(3+5)<0$ - неравенство выполняется.

4. $(6)(6-5)(6+5)>0$ - неравенство выполняется.

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty }-5)\cup (0,5)$.

Рассмотрим неравенство

$x^3-0,01x>0.$

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x(x-0,1)(x+0,1)=0,$

$x_1=0$,

$x_2=0,1$.

$x_2=-0,1$.

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },0)$: возьмем $x=-1$.

2. Интервал $(0,0,1)$: возьмем $x=0,05$.

3. Интервал $(0,1,+\mathrm{\infty })$: возьмем $x=0,2$.

Подставим значения в исходное неравенство:

1. $(-1)(-1-0,1)(-1+0,1)<0$ - неравенство выполняется.

2. $(0,05)(0,05-0,1)(0,05+0,1)>0$ - неравенство выполняется.

3. $(0,2)(0,2-0,1)(0,2+0,1)>0$ - неравенство выполняется.

Ответ: $x\in (-0,1,0)\cup (0,1,+\mathrm{\infty })$.

Рассмотрим неравенство

$(x^2-9)(x^2-1)>0.$

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)=0,$

$x_1=-3$,

$x_2=-1$,

$x_3=1$,

$x_4=3$.

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-3)$: возьмем $x=-4$.

2. Интервал $(-3,-1)$: возьмем $x=-2$.

3. Интервал $(-1,1)$: возьмем $x=0$.

4. Интервал $(1,3)$: возьмем $x=2$.

5. Интервал $(3,+\mathrm{\infty })$: возьмем $x=4$.

Подставим значения в исходное неравенство:

1. $(-4-3)(-4+3)(-4-1)(-4+1)>0$ - неравенство выполняется.

2. $(-2-3)(-2+3)(-2-1)(-2+1)<0$ - неравенство выполняется.

3. $(0-3)(0+3)(0-1)(0+1)>0$ - неравенство выполняется.

4. $(2-3)(2+3)(2-1)(2+1)<0$ - неравенство выполняется.

5. $(4-3)(4+3)(4-1)(4+1)>0$ - неравенство выполняется.

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty },-3)\cup (-1,1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

Рассмотрим неравенство

$(x^2-15x)(x^2-36)<0.$

Факторизуем и приравниваем каждый множитель к нулю:

1. $x(x-15)(x-6)(x+6)=0,$

- $x_1=0$,

- $x_2=15$,

- $x_3=6$,

- $x_4=-6$.

Теперь используем метод интервалов, выбирая точки из каждого интервала:

1. Интервал $(-\mathrm{\infty },-6)$: возьмем $x=-7$.

2. Интервал $(-6,0)$: возьмем $x=-3$.

3. Интервал $(0,6)$: возьмем $x=2$.

4. Интервал $(6,15)$: возьмем $x=10$.

5. Интервал $(15,+\mathrm{\infty })$: возьмем $x=16$.

Подставим значения в исходное неравенство:

1. $(-7)(-7-15)(-7-6)(-7+6)<0$ - неравенство выполняется.

2. $(-3)(-3-15)(-3-6)(-3+6)>0$ - неравенство выполняется.

3. $(2)(2-15)(2-6)(2+6)<0$ - неравенство выполняется.

4. $(10)(10-15)(10-6)(10+6)>0$ - неравенство выполняется.

5. $(16)(16-15)(16-6)(16+6)<0$ - неравенство выполняется.

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty },-6)\cup (-6,0)\cup (6,15)$.