§6. Неравенства с одной переменной — Дополнительные упражнения к параграфу 6 — 357 — стр. 109

Рассмотрим неравенство:

\(\frac{6 x+2}{x+4}<5.\)

\(\frac{6 x+2}{x+4}-5<0.\)

\(\frac{6 x+2-5x-20}{x+4}<0.\)

Это неравенство равносильно \((x-18)(x+4)<0\).

Точки пересечения с осью \(x\) равны \(x_1=18\) и \(x_2=-4\).

Парабола, ветви направлены вверх. Таким образом,

\(x \in (-4, 18)\).

Рассмотрим неравенство:

\(\frac{5 x+8}{x}>1.\)

Это неравенство эквивалентно \(\frac{4 x+8}{x}>0\), что в свою очередь равносильно \((x+2) x>0\).

Точки пересечения с осью \(x\) равны \(x_1=0\) и \(x_2=-2\).

Парабола, ветви направлены вверх. Таким образом,

\(x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)\).

Рассмотрим неравенство:

\(\frac{3-2 x}{3 x+2} \leq 1.\)

Это неравенство эквивалентно системе:

\(\begin{cases}\frac{1-5 x}{3 x+2} \leq 0, \\3 x+2 \neq 0.\end{cases}\)

Точки пересечения с осью \(x\) равны \(x_1=\frac{1}{5}\) и \(x_2=-\frac{2}{3}\), при условии \(x \neq -\frac{2}{3}\).

Парабола, ветви направлены вверх. Таким образом,

\(x \in \left(-\infty, -\frac{2}{3}\right) \cup \left[\frac{1}{5}, +\infty\right)\).

Рассмотрим неравенство:

\(\frac{5 x-4}{x+8} \geq 15.\)

Это неравенство эквивалентно системе:

\(\begin{cases}\frac{5 x+62}{x+8} \leq 0, \\x+8 \neq 0.\end{cases}\)

Точки пересечения с осью \(x\) равны \(x_1=-12 \frac{2}{5}=-\frac{62}{5}\) и \(x_2=-8\), при условии \(x \neq -8\).

Парабола, ветви направлены вверх. Таким образом,

\(x \in \left[-12 \frac{2}{5}, -8\right)\).