§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 19. Уравнение с двумя переменными и его график — 381 — стр. 117

Рассмотрим неравенство \(25x^2 + 6x \leq 0\). Выражение может быть факторизовано как \(x(25x + 6)\). Таким образом, уравнение равно нулю при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -\frac{6}{25}\). Поскольку у коэффициента \(x^2\) положительный знак, парабола направлена вверх. Следовательно, решение неравенства — это интервал \((-\frac{6}{25}, 0)\).

Рассмотрим неравенство \(x^2 - 169 > 0\), которое факторизуется как \((x - 13)(x + 13) > 0\). Это равенство выполняется при \(x_1 = 13\) и \(x_2 = -13\). Парабола направлена вверх. Таким образом, решение неравенства — это объединение интервалов \((- \infty, -13) \cup (13, +\infty)\).

Рассмотрим неравенство \(4x^2 - 225 \leq 0\), которое факторизуется как \((2x - 15)(2x + 15) \leq 0\). Уравнение равно нулю при \(x_1 = 7.5\) и \(x_2 = -7.5\). Парабола направлена вверх. Следовательно, решение неравенства — это интервал \((-7.5, 7.5)\).

Рассмотрим неравенство \(y^2 < 10y + 24\), которое можно переписать как \(y^2 - 10y - 24 < 0\).

Уравнение равно нулю при \(x_1 = 12\) и \(x_2 = -2\). Парабола направлена вверх. Следовательно, решение неравенства — это интервал \((-2, 12)\).

Рассмотрим неравенство \(15y^2 + 30 > 22y + 7\), которое можно упростить до \(15y^2 - 22y + 23 > 0\). Парабола направлена вверх. Дискриминант отрицателен, поэтому уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, неравенство выполняется для всех \(y\).

Рассмотрим неравенство \(3y^2 - 7 \leq 26y + 70\), которое можно упростить до \(3y^2 - 26y - 77 \leq 0\). Решения квадратного уравнения \(3y^2 - 26y - 77 = 0\) равны \(y = 11\) и \(y = -\frac{7}{3}\). Парабола направлена вверх, и решение неравенства — это интервал \(\left(-2\frac{1}{3}, 11\right)\).