§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными — 412 — стр. 125

\(\left\{\begin{aligned}2x + 3y = 4 \\ 3x + 2y = 2\end{aligned}\right.\)

Убедимся, что коэффициенты при \(x\) и \(y\) не пропорциональны:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)

Так как коэффициенты не пропорциональны, прямые пересекаются. Система имеет одно решение.

\(\left\{\begin{aligned}2x + 3y = 4 \\ 4x + 6y = 2\end{aligned}\right.\)

Проверим пропорциональность коэффициентов:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)

Так как коэффициенты пропорциональны, прямые параллельны. Система не имеет решений.

\(\left\{\begin{aligned}3x - 6y = 2 \\ -x + 2y = -1\end{aligned}\right.\)

Проверим пропорциональность коэффициентов:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{-1} = -3, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)

Так как коэффициенты пропорциональны, прямые параллельны. Система не имеет решений.

\(\left\{\begin{aligned}2x = 5 \\ 3x + 2y = 2\end{aligned}\right.\)

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{0}{2} = 0, \quad \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)

Коэффициенты не пропорциональны, прямые пересекаются. Система имеет одно решение.

\(\left\{\begin{aligned}3y = 4 \\ 4x + 6y = 1\end{aligned}\right.\)

Проверим пропорциональность коэффициентов:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{0}{4} = 0, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)

Коэффициенты не пропорциональны, прямые пересекаются. Система имеет одно решение.

\(\left\{\begin{aligned}3x + 5y = -6 \\ 9x + 15y = -18\end{aligned}\right.\)

Проверим пропорциональность коэффициентов:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)

\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{a_1}{a_2}\)

Так как коэффициенты пропорциональны, прямые совпадают. Система имеет бесконечно много решений.