§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными — 414 — стр. 126

\(\left\{\begin{array}{c}3x - 2y = 1 \\ x + y = 5\end{array}\right. \\ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{3}{1} = 3, \quad \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{-2}{1} = -2, \quad \frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)

Коэффициенты не пропорциональны, следовательно, прямые пересекаются. Система имеет единственное решение.

\(\left\{\begin{array}{c}3x - 2y = 1 \\ 3x - 2y = 5\end{array}\right. \\ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = 1, \quad \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{1}{5} \neq \frac{a_{1}}{a_{2}}\)

Коэффициенты пропорциональны, но уравнения совпадают. Прямых совпадают, и система не имеет решений.

\(\left\{\begin{array}{c}3x - 2y = 1 \\ 6x - 4y = 2\end{array}\right. \\ \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = \frac{1}{2}\)

Коэффициенты пропорциональны, уравнения совпадают. Прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений.