§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 420 — стр. 127

Рассмотрим задачу:
Пусть одно число - \(a\), а второе - \(-b\). Тогда система уравнений выглядит следующим образом:
\(\begin{cases}a + b = 12 \\ a \cdot b = 35\end{cases} \\ \begin{cases}a = 12 - b\\ 12b - b^2 - 35 =0\end{cases}\)
Подставим выражение \(a = 12 - b\) в первое уравнение:
\((12 - b) \cdot b = 35\)
Раскроем скобки:
\(12b - b^2 = 35\)
Получим квадратное уравнение:
\(b^2 - 12b + 35 = 0\)
Решим его с использованием дискриминанта:
\(D = (-12)^2 - 4 \cdot 35 = 144 - 140 = 4\)
\(b_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{4}}{2}\)
\(b_1 = 7, \quad b_2 = 5\)
Теперь найдем соответствующие значения \(a\):
\(a_1 = 12 - 7 = 5\)
\(a_2 = 12 - 5 = 7\)
Итак, у нас два возможных набора чисел: \(\{5, 7\}\) или \(\{7, 5\}\).