§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 422 — стр. 127

Пусть стороны прямоугольника \(a\) и \(b\) в сантиметрах (\(a > 0\) и \(b > 0\)). Периметр прямоугольника \(P = 2(a + b) = 28\) см. Согласно теореме Пифагора, диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\).
Таким образом, у нас есть система уравнений:
\(\begin{cases} 2a + 2b = 28 \\ a^2 + b^2 = 100\end{cases}\)
Решение:
\(\begin{cases} a = \frac{48}{b} \\ \frac{2304}{b^2} + b^2 - 100 = 0\end{cases} \)
\(b^4 - 100b^2 + 2304 = 0\)
\(b^2 = z, \quad z \geq 0 \)
\(z^2 - 100z + 2304 = 0\)
\(z_{1,2} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 9216}}{2}\)
\(z_1 = 36, \quad z_2 = 64\)
\( \begin{cases} b = 6 \\ a = 8\end{cases}\)
Ответ: \(a = 8\) см и \(b = 6\) см.