§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 424 — стр. 127

Допустим, длина катетов равна \(a\) и \(b\) в сантиметрах (\(a > 0\) и \(b > 0\)). Сумма длин катетов равна \(a + b = 84 - 37 = 47\) сантиметров. Согласно теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = 37^2\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} a + b = 47 \\ a^2 + b^2 = 1369\end{cases}\)
Решение:
\(\begin{cases} a = 47 - b \\ 2209 - 94b + b^2 + b^2 - 1369 = 0 \end{cases} \\ 2b^2 - 94b + 840 = 0 \\ b^2 - 47b + 420 = 0 \\ b_{1,2} = \frac{47 \pm \sqrt{2209 - 1680}}{2} \\ b_1 = 35, \quad b_2 = 12 \\ \begin{cases}b = 35 \\ a = 12 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}b = 12 \\ a = 35 \end{cases}\)
Вычислим площадь:
\(S = \frac{ab}{2} = \frac{35 \cdot 12}{2} = 210 \, \text{см}^2\)
Ответ: Площадь равна \(210 \, \text{см}^2\).