§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 427 — стр. 128

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\) см (\(a > 0\) и \(b > 0\)).
Имеем систему уравнений:
\(\begin{cases} 2a^2 + 2b^2 = 122 \\ ab = 30 \end{cases}\)
Решение:
\(\begin{cases} a = \frac{30}{b} \\ \frac{900}{b^2} + b^2 = 61 \end{cases}\)
Перепишем в виде уравнения относительно \(b\):
\(\frac{900}{b^2} + b^2 - 61 = 0 \\ b^4 - 61b^2 + 900 = 0\)
Решим это уравнение, представив \(b^2 = z\) (\(z \geq 0\)):
\(z^2 - 61z + 900 = 0 \\ z_{1,2} = \frac{61 \pm \sqrt{3721 - 3600}}{2} \\ z_1 = 25 \\ z_2 = 36\)
Таким образом, \(b^2 = 25\) или \(b^2 = 36\).
Имеем два возможных набора значений:
1. \(b = 5\) и \(a = 6\).
2. \(b = 6\) и \(a = 5\).
Ответ: Стороны прямоугольника равны 6 см и 5 см.