§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 428 — стр. 128

Пусть один катет равен \(a\) см, а второй \(b\) см (\(a > 0\) и \(b > 0\)). Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{ab}{2} = 24 \mathrm{~cm}^2\).
Используя теорему Пифагора, получаем уравнение:
\(\begin{cases} \frac{ab}{2} = 24 \\ a^2 + b^2 = 10^2 \end{cases}\)
Решение:
\(\begin{cases} a = \frac{48}{b} \\ \frac{2304}{b^2} + b^2 = 100 \end{cases}\)
Представим второе уравнение в виде уравнения относительно \(b\):
\(\frac{2304}{b^2} + b^2 - 100 = 0 \\ b^4 - 100b^2 + 2304 = 0\)
Решим это уравнение, представив \(b^2 = z\) (\(z \geq 0\)):
\(z^2 - 100z + 2304 = 0 \\ z_{1,2} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 9216}}{2} \\ z_1 = 36 \\ z_2 = 64\)
Таким образом, \(b^2 = 36\) или \(b^2 = 64\).
Имеем два возможных набора значений:
1. \(b = 6\) и \(a = 8\).
2. \(b = 8\) и \(a = 6\).
Ответ: Стороны прямоугольного треугольника равны 8 см и 6 см.