§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 429 — стр. 128

Пусть один катет равен \(a\) см, а второй \(b\) см (\(a > 0\) и \(b > c\)). Используя теорему Пифагора, получаем уравнение \(a^{2}+b^{2}=13^{2}\). После увеличения одного из катетов на 4 см, получаем новое уравнение \((a+4)^{2}+b^{2}=15^{2}\).
\(\begin{cases} a^{2}+b^{2}=169 \\ (a+4)^{2}+b^{2}=225\end{cases} \\ \begin{cases} a^{2}+b^{2}=169 \\ a^{2}+8a+16+b^{2}=225\end{cases} \\ \begin{cases} a^{2}+b^{2}=169 \\ 8a+16=56 \\ a=5\end{cases} \\ \begin{cases} b^{2}=169-25=144 \\ a=5\end{cases} \\ \begin{cases} b=12 \\ a=5\end{cases}\)
Таким образом, получаем ответ: 5 см и 12 см.