§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 431 — стр. 128

Предположим, что первому работнику требуется \(x\) часов, а второму - \(y\) часов для выполнения всей работы (\(x > 0, y > 0\)).
Известно, что производительность первого комбайнёра \(-\frac{1}{x}\), а второго \(-\frac{1}{y}\) в час.
Согласно условию, совместно оба комбайнёра смогут выполнить работу за 35 часов, что можно записать уравнением:
\(35\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\)
Также известно, что первый комбайнёр убирает на 24 часа быстрее второго:
\(x + 24 = y\)
Теперь решим систему уравнений:
\(\begin{cases} x + 24 = y \\ 35\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\end{cases} \\ \begin{cases} y = x + 24 \\ 35\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 24}\right) = 1\end{cases} \\ \begin{cases} y = x + 24 \\ \frac{35(x + 24) + 35x - x^2 - 24x}{x(x + 24)} = 0\end{cases} \\ \begin{cases} y = x + 24 \\ -x^2 + 46x + 840 = 0\end{cases}\)
Решив квадратное уравнение, получаем два корня:
\(x_{1,2} = \frac{46 \pm \sqrt{2116 + 3360}}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 60, \quad x_2 = -14 \quad (\text{не соответствует условию})\)
Таким образом, получаем решение системы:
\(\begin{cases} x = 60 \\ y = 84\end{cases}\)
Ответ: 60 часов и 84 часа.