§7. Уравнения с двумя перемннными и их системы — 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени — 436 — стр. 129

Рассмотрим двух пешеходов. Пусть скорость первого пешехода равна \(-x\) км/ч, а второго \(-y\) км/ч (\(x > 0\), \(y > 0\)).
За 4 часа первый пешеход проходит \(4x\) км, а второй \(-4y\) км. Расстояние до встречи составляет 4 км, а общее расстояние 40 км, следовательно:
\(4x + 4y + 4 = 40.\)
Если встреча произойдет на середине пути, то каждый из них пройдет 20 км. Поскольку первый выходит на 1 час раньше, у нас есть уравнение:
\(\frac{20}{x} + 1 = \frac{20}{y}.\)
Следовательно,
\(\begin{cases} x + y + 1 = 10 \\ \frac{20 + x}{x} = \frac{20}{y}\end{cases}.\)
Отсюда получаем:
\(\begin{cases} x = 9 - y \\ (29 - y)y = 20(9 - y)\end{cases}.\)
Решая систему уравнений, получаем:
\(\begin{cases} x = 9 - y \\ 29y - y^2 - 180 + 20y = 0\end{cases}.\)
Это сводится к квадратному уравнению:
\(y^2 - 49y + 180 = 0.\)
Решив его, получаем:
\(y_{1,2} = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 720}}{2}.\)
Отсюда \(y_1 = 4\), \(y_2 = 45\) (не соответствует условию). Следовательно:
\(\begin{cases} y = 4 \\ x = 5\end{cases}.\)
Ответ: Скорость первого пешехода равна 5 км/ч, а второго - 4 км/ч.