§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 23. Неравенства с двумя переменными — 454 — стр. 134

Рассмотрим неравенство \(x^2+y^2-6x-4y+13 \leq 0\). Преобразуем его, чтобы получить полный квадрат:

\((x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) \leq 0\)

Теперь выражение стало суммой двух полных квадратов: \((x-3)^2\) и \((y-2)^2\). Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

\((x-3)^2 + (y-2)^2 \leq 0\)

Поскольку квадраты величин не могут быть отрицательными, сумма квадратов всегда неотрицательна. Следовательно, единственным способом, чтобы неравенство было выполнено, является случай, когда оба слагаемых равны нулю. Таким образом, точка \((3, 2)\) является решением данного неравенства.

Теперь рассмотрим неравенство \(x^2-4x-y+5 \geq 0\). Преобразуем его \((x-2)^2\):

\((x^2-4x+4) + 1 \geq y\)

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

\(y \leq (x-2)^2 + 1\)

Это неравенство описывает множество точек, находящихся ниже графика функции \(y=(x-2)^2+1\) (параболы), включая точки, принадлежащие графику.