§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 24. Системы неравенств с двумя переменными — 471 — стр. 138

Имеем неравенство:
\(6x(x+8) - (5x-27)(x+17) > 0\)
Раскрываем скобки и упрощаем:
\(6x^2 + 48x - (5x^2 - 27x + 85x - 459) > 0\)
\(6x^2 + 48x - 5x^2 + 27x - 85x + 459 > 0\)
\(x^2 - 10x + 459 > 0\)
Выражаем квадратное уравнение через полный квадрат:
\((x^2 - 10x + 25) + 434 > 0\)
\((x - 5)^2 + 434 > 0\)
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то \((x - 5)^2\) всегда неотрицательно. Таким образом, выражение \((x - 5)^2 + 434\) всегда больше 0. Утверждение верно для любого значения \(x\).
Ответ: \((x - 5)^2 + 434 > 0\) для любого \(x\).