§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени — 472 — стр. 143

Рассмотрим систему уравнений: \(\left\{\begin{array}{l}(x-2y)(x+3y)=0, \\x^{2}-y^{2}=12\end{array}\right.\)

1. \(\begin{cases}x-2 y=0 \\ x^2-y^2=12\end{cases}\)

Из первого уравнения получаем \(x=2y\), подставим это во второе уравнение:

\(\begin{cases}x=2 y \\ y^2=4\end{cases} \\ \begin{cases}y=2 \\ x=4\end{cases} \\ \begin{cases}y=-2 \\ x=-4\end{cases}\)

2. \(\begin{cases}x+3 y=0 \\ x^2-y^2=12\end{cases}\)

Из первого уравнения получаем \(x=-3y\), подставим это во второе уравнение:

\(\begin{cases}x=-3 y \\ 9 y^2-y^2=12\end{cases} \\ \begin{cases}y=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ x=-\frac{3\sqrt{6}}{2}\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}y=-\frac{\sqrt{6}}{2} \\ x=\frac{3\sqrt{6}}{2}\end{cases}\)

Ответ: \((4, 2), (-4, -2), \left(-\frac{3\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right), \left(\frac{3\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\).

Рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases}x^2-4xy+3y^2+2x-6y=0 \\ x^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

Выразим \(x\) из первого уравнения и подставим во второе:

\(\begin{cases}x^2-xy+2x-3xy+3y^2-6y=0 \\ x^2-xy+y^2=7\end{cases} \\ \begin{cases}(x-y+2)(x-3y)=0 \\ x^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

1. \(\begin{cases}x-y+2=0 \\ x^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

Подставим \(x=y-2\) во второе уравнение:

\(\begin{cases}x=y-2 \\ y^2-4y+4-y^2+2y+y^2-7=0\end{cases} \\ \begin{cases}y=3 \\ x=1\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}y=-1 \\ x=-3\end{cases}\)

2. \(\begin{cases}x-3y=0 \\ x^2-xy+y^2=7\end{cases}\)

Подставим \(x=3y\) во второе уравнение:

\(\begin{cases}x=3y \\ 9y^2-3y^2+y^2=7\end{cases} \\ \begin{cases}y=1 \\ x=3\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}y=-1 \\ x=-3\end{cases}\)

Ответ: \((1, 3), (-3, -1), (3, 1)\).