§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени — 473 — стр. 143

Рассмотрим систему уравнений:

\(\begin{cases}x^2+x y-2 y^2-x+y=0 \\ x^2+y^2=8\end{cases} \\ \begin{cases}x(x+2y-1)-y(x+2y-1)=0 \\ x^2+y^2=8\end{cases} \\ \begin{cases}(x-y)(x+2y-1)=0 \\ x^2+y^2=8\end{cases}\)

\(\text{1) }\begin{cases}x-y=0 \\ x^2+y^2=8\end{cases} \\ \begin{cases}x=y \\ y^2+y^2=8\end{cases} \\ \begin{cases}x=y \\ y^2=4\end{cases} \\ \begin{cases}y=2 \\ x=2\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}y=-2 \\ x=-2\end{cases}\)

\(\text{2) }\begin{cases}x+2y-1=0 \\ x^2+y^2=8\end{cases} \\ \begin{cases}x=1-2y \\ (1-2y)^2+y^2=8\end{cases}\)

\(1-4y+4y^2+y^2-8=0\)

\(5y^2-4y-7=0\)

\(y_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+140}}{10}=\frac{2\pm\sqrt{39}}{5}\)

\(\begin{cases}y=\frac{2+\sqrt{39}}{5} \\ x=1-\frac{4+2\sqrt{39}}{5}=\frac{1-2\sqrt{39}}{5}\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}y=\frac{2-\sqrt{39}}{5} \\ x=1-\frac{4-2\sqrt{39}}{5}=\frac{1+2\sqrt{39}}{5}\end{cases}\)

Ответ: \((2, 2), (-2, -2), \left(\frac{1-2\sqrt{39}}{5}, \frac{2+\sqrt{39}}{5}\right), \left(\frac{1+2\sqrt{39}}{5}, \frac{2-\sqrt{39}}{5}\right)\).

\(\begin{cases}x^{2}-6xy+5y^{2}-x+5y=0, \\x^{2}-20y^{2}=5\end{cases} \\ \begin{cases}x(x-y-1)-5y(x-y-1)=0 \\ x^2-20y^2=5\end{cases} \\ \begin{cases}(x-y-1)(x-5y)=0 \\ x^2-20y^2=5\end{cases} \\ \text{1) }\begin{cases}x-5y=0 \\ x^2-20y^2=5\end{cases} \\ \begin{cases}x=5y \\ 25y^2-20y^2=5\end{cases} \\ \begin{cases}x=5y \\ 5y^2=5\end{cases} \\ \begin{cases}y=1 \\ x=5\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}y=-1 \\ x=-5\end{cases}\)

\(\text{2) }\begin{cases}x-y-1=0 \\ x^2-20y^2=5\end{cases} \\ \begin{cases}x=1+y \\ (1+y)^2-20y^2=5\end{cases}\)

\(1+2y+y^2-20y^2-5=0\)

\(-19y^2+2y-4=0\)

\(19y^2-2y+4=0\)

\(D=4-4\cdot19\cdot4=-300<0-\text{корней нет.}\)

Ответ: \((5, 1), (-5, -1)\).