§8. Неравенства с двумя переменными и их системы — 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени — 475 — стр. 143

\(\begin{cases}x^2+3 x y-10 y^2=0 \\ x^2-4 x y+3 y=0\end{cases}\)

Решим первое уравнение относительно \(x\):

\(x^2+3 x y-10 y^2=0 \\ x_{1,2}=\frac{-3 y \pm \sqrt{9 y^2+40 y^2}}{2} \\ x_1=2 y \\ x_2=-5 y\)

1) Рассмотрим \(\begin{cases}x=2 y \\ 4 y^2-8 y^2+3 y=0\end{cases}\):

\(\begin{cases}x=2 y \\ 4 y^2-8 y^2+3 y=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=2 y \\ -4 y^2+3 y=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=2 y \\ y(3-4 y)=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=0 \\ x=0\end{cases} \text{ или } \begin{cases}y=\frac{3}{4} \\ x=\frac{3}{2}\end{cases}\)

2) Рассмотрим \(\begin{cases}x=-5 y \\ 25 y^2+20 y^2+3 y=0\end{cases}\):

\(\begin{cases}x=-5 y \\ 45 y^2+3 y=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=-5 y \\ y(15 y+1)=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}y=0 \\ x=0\end{cases} \text{ или } \begin{cases}y=-\frac{1}{15} \\ x=\frac{1}{3}\end{cases}\)

Ответ: \((0, 0),\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right),\left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{15}\right)\);

\(\begin{cases}x^2+x y-6 y^2=0 \\ x^2+3 x y+2 y-6=0\end{cases}\)

Решим первое уравнение относительно \(x\):

\(x^2+x y-6 y^2=0, \\ x_{1,2}=\frac{-y \pm \sqrt{y^2+24 y^2}}{2}, \\ x_1=2 y, \\ x_2=-3 y ; \\ \begin{cases}(x-2 y)(x+3 y)=0 \\ x^2+3 x y+2 y-6=0\end{cases}\)

\(\text{1) }\begin{cases}x-2 y=0 \\ x^2+3 x y+2 y-6=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=2 y \\ 5 y^2+y-3=0\end{cases}\)

\(y_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+60}}{10}=\frac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}, \\ \begin{cases}y=\frac{-1+\sqrt{61}}{10} \\ x=\frac{-1+\sqrt{61}}{5}\end{cases} \text{ или } \begin{cases}y=\frac{-1-\sqrt{61}}{10} \\ x=\frac{-1-\sqrt{61}}{5}\end{cases}\)

\(\text{2) }\begin{cases}x+3 y=0 \\ x^2+3 x y+2 y-6=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=-3 y \\ 9 y^2-9 y^2+2 y-6=0\end{cases} \\ \begin{cases}x=-3 y \\ 2 y=6\end{cases} \\ \begin{cases}y=3 \\ x=-9\end{cases}\)

Ответ: \(\left(\frac{-1+\sqrt{61}}{5}, \frac{-1+\sqrt{61}}{10}\right),\left(\frac{-1-\sqrt{61}}{5}, \frac{-1-\sqrt{61}}{10}\right),(-9, 3)\).